Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Законы распределения случайных величин



Ю.В.Захаров

 

Математическое моделирование

в технологии электронных

средств

 

Йошкар-Ола

УДК 621.38.001.57

 

Рецензенты:

кафедра КиП ЭВА Казанского государственного технического

университета (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. О.Ш. Даутов);

 

профессор Марийского филиала Московского открытого социального универ­ситета, д-р. ф.-м. наук М.Л. Николаев.

 

 

Печатается по решению

редакционно-издательского совета МарГТУ

 

 

Захаров Ю.В.

Математическое моделирование в технологии электронных средств:

Учебное пособие. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2003. - с.

 

 

Приведены основные сведения из теории вероятностей и математической статистики, теории ошибок. Даны методы выбора наиболее существенных факторов объекта эксперимента. Рассмотрены вопросы планирования, проведения и обработки результатов пассивного и активного экспериментов для построения математических моделей в технологии производства электронных средств.

Для студентов специальностей 200800, 220500 и направления 551100.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Повышение качества продукции - одна из важнейших проблем на совре­менном этапе развития общества. Именно качество продукции в первую очередь сегодня определяет конкурентоспособность выпускаемых изделий.

Постоянно возрастающие требования к качеству электронных средств (ЭС), быстрая смена номенклатуры изделий, усложнение процессов их производства при­водят к необходимости постоянной целенаправленной деятельности по обеспечению требуемого уровня качества разрабатываемых и выпускаемых ЭС. Отсюда вытекает необходимость применения изготовителем согласованных действий по обеспечению требуемого заказчиком качества ЭС, т.е. создания системы управления их качеством.

Управление качеством ЭС возможно только в том случае, если известна зависимость между показателями качества изделия и факторами, определяющими их численную величину. Обычно эта зависимость ищется в виде математических моделей, полученных на основе теории планирования пассивного и активного экспериментов.

Знание методов выявления наиболее существенных факторов объекта эксперимента, методологии планирования, проведения и статистической обработки результатов сложного эксперимента, концепции выбора вида и построения математических моделей является определяющим условием высокого качества ЭС на стадии производства.



 

 

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

 

Случайные величины. Выборка

 

В основе управления качеством электронных средств и оценке их надеж­ности лежат различные статистические методы. Для их применения необходимо набрать достаточное количество статистических данных по параметрам качества изделия. Эти данные являются случайными величинами.

Случайная величина (СВ) - переменная, которая в результате измерения может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. СВ могут быть дискретными (с дискретным рядом возможных значений) или непрерывными (принимающими любые значения из конкретного или бесконеч­ного интервала).

Случайное событие - событие, которое в результате опыта (эксперимента, испытания) может произойти или не произойти.

Сбор и обработка статистических данных осуществляется на основе кон­троля и измерения определенного числа изделий. Вся совокупность однородных изделий называется генеральной совокупностью.

При массовом производстве генеральная совокупность может содержать число изделий, насчитывающее десятки и сотни тысяч. Измерять параметры изде­лий в таких случаях бывает экономически нецелесообразно. Поэтому контроли­руют параметры из некоторой части изделий, а результаты распространяют на всю генеральную совокупность.

Выборка - часть изделий случайным образом взятая из генеральной сово­купности. Оценка, полученная по результатам измерений параметров в выборке, называется выборочной оценкой. Число изделий в выборке определяет объем вы­борки. Очевидно, чем больше объем выборки, тем выше точность выборочных оценок. Однако с ростом объема выборки увеличивается трудоемкость измерения параметров в выборке, т.е. растут затраты времени и средств на выполнение кон­трольно-измерительных операций. Поэтому в зависимости от требуемой точности объем выборки ограничивают десятками - тысячами изделий. Оценку, обеспечи­вающую любую требуемую точность, принято называть состоятельной, а соот­ветствующую выборку - репрезентативной (представительной).



Выборочная оценка производится по выборке ограниченного объема. Если из генеральной совокупности осуществить повторную выборку того же объема, то, в силу ограниченности объема выборки, та же оценка примет несколько отли­чающееся значение. Таким образом, выборочная оценка представляет собой слу­чайную величину, меняющуюся от выборки к выборке. Выборочные оценки, об­ладающие тем свойством, что при любом объеме выборки их математическое ожидание равно оцениваемой числовой характеристике, называются несмещен­ными оценками. Требование несмещенности оценки особо важно при малом объ­еме выборки, когда величина смещения может исказить результаты.

Большое значение для установления меры качества того или иного способа оценки числовой характеристики принадлежит понятию эффективности выбороч­ной оценки. Оценку, имеющую меньшее рассеяние (дисперсию) относительно ис­тинного значения, называют более эффективной оценкой.

 

Законы распределения случайных величин

 

Обозначим:

Х - СВ;

х1, х2,..., хi,..., хn - значения СВ;

Р - вероятность появления СВ Х;

р1, р2, ..., рi,..., рn - вероятности появления значений х1, х2,..., хi,..., хn соответ­ственно;

n - объем выборки.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавли­вающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероят­ностями их появления.

Закон распределения дискретной СВ представляется в виде статистического ряда распределения:

 

X x1 x2 ..... xi ..... xn
Р р1 p2 ..... рi ..... рn

 

где - вероятность принятия СВ значения хi с частотой mi; .

Графическое изображение статистического ряда называется полигоном.

Для непрерывной СВ не существует статистического ряда распределения, но есть аналог, где вместо дискретных значений Х берутся интервалы значений СВ равной длины l, и величины Р представляют отношение числа значений СВ, попавших в данный интервал, к суммарному числу наблюдаемых значений.

Длина интервала l и число интервалов q находится из выражений:

; q = 1 + 3,33lg(n) ,

где xmax и xmin - максимальное и минимальное значение СВ в выборке.

Если значение СВ находится в точности на границе двух интервалов, то ус­ловно считается, что оно в равной мере принадлежит к обоим интервалам, и п­оэтому необходимо прибавить к величинам m того и другого интервала по 0,5.

Графическое изображение полученного закона распределения непрерывной СВ называется гистограммой, где по оси абсцисс откладываются интервалы дли­ной l (их число равно q), а по оси ординат - прямоугольники с высотой, равной вероятности попадания СВ в i-й интервал (i=1, 2, ..., q).

Hаиболее полную информацию о связи Х и Р дают интегральный и диффе­ренциальный законы распределения.

Интегральный закон распределения (функция распределения) F(x) - ве­роятность того, что СВ Х меньше некоторой текущей переменой х:

.

F(x) существует как для дискретной, так и для непрерывной СВ.

Свойства функции распределения:

F(x) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при ;

;

.

Статистически функция распределения находится по формуле

, т.е.

Дифференциальный закон распределения (плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределены значения СВ в точке Х = х:

Плотность распределения - это производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения:

;

Функция распределения от плотности распределения выражается следую­щим образом:

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!