Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интегрирование тригонометрических функций



Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки .

Действительно, и = .

Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.

Пример13. Вычислить интеграл .

Решение. Подстановка дает:

= = .

Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка ;

если , то применима подстановка .

Пример14. Вычислить интеграл .

Решение. Положим и найдем:

поэтому:

= = = .

Рассмотрим интеграл вида , где m и n-целые числа. Возможны следующие случаи:

1. Одно из чисел m или n – нечетное, например , тогда полагая , получим:

= =

2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:

.

Пример15. Вычислить интеграл .

Решение. = = .

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим интеграл следующего вида: ,

где R - рациональная функция, - рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k - общий знаменатель всех дробных показателей.

Пример16. Вычислить интеграл .

Решение. Положив , получим: = = = .

Контрольные задания

Вычислить неопределенные интегралы.

5.1

5.2 .

5.
3 .

5.
4 .

5.
5 .

 

 

5.
6 .

5.
7 .

5.
8 .

5.
9 .

5.
10 .

5.
11 .

 

5.12 .

 

5.13 .

 

5.14 .

 

5.15 .

 

5.16 .

 

5.17 .

 

5.18 .

 

5.19 .

 

5.20 .

 

 

Указания к заданию 6

ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками .

В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность , после этого составим сумму , которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .



Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом . Таким образом, .

Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , . В этом случае произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием и высотами (рис. 1).

Рис.1

 

Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и и отрезком оси .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!