Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Замена переменой в неопределенном интеграле



Замена переменной или метод подстановки, состоит в том что, при вычислении интеграла вместо переменной вводится новая переменная , связанная с определенной зависимостью: . При этом функцию следует выбирать так, чтобы подынтегральная функция становилась более удобной для интегрирования.

Введем новую переменную , где функция определена и дифференцируема. Тогда будет справедлива формула

 

= .

Пример6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку , а затем продифференцируем это равенство: .

= = .

Пример7. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку , тогда .

= .

 

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на интервале , то .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Метод интегрирования по частям применяется при вычислении следующих интегралов:

А) , , , где - многочлен степени n. В этих интегралах за принимается и интегрируется по частям n раз.

В) , , , , .

В этих интегралах за принимается .

Пример8. Вычислить .

Решение. Положим , тогда ,

и по формуле интегрирования по частям получаем:

= .

Пример9. Вычислить .

Решение. Положим .

Отсюда . Используя формулу интегрирования по частям, имеем:

= .

Пример10. Вычислить .

Решение. Примем , тогда

. Окончательно получаем:

= .

Пример11. Вычислить .

Решение. Сделаем предварительные преобразования:

, отсюда

= .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:

,

где, m, n – целые положительные числа, - действительные числа ( ).

Если , то называется правильной рациональной дробью, если - неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

,

где , - многочлены; - правильная рациональная дробь

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:

где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – натуральное число .

В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:



,

то в разложении самой дроби:

а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;

б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида: ;

в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .

Пример12. Найти интеграл .

Решение. Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:

При :

При :

При :

При :

Подставив значение , находим: , , .

Поэтому:

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!