Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ИДЗ-3. Элементы комбинаторики. Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математика»



Часть 1

 

 

Екатеринбург – 2014


Введение

Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математика». Разработка содержит индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания к их решению.

Методические указания к решению задач

ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств

Определить и изобразить на рисунках множества A, B, AÈB, AÇB, A/B, B/A, ADB, где

A = {(x, y) Î R2: |x| £ 1, |y| £ 1},

B = {(x, y) Î R2: |x – 1| £ 1, |y – 1| £ 1}.

Решение: Множества A и B представляют собой множества точек на декартовой плоскости R ´ R = R2 (плоскости Oxy). Как нетрудно установить, множество A представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (0; 0) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству A. Аналогично, множество B представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (1; 1) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству B. Множества A, B, AÈB, AÇB, A/B, B/A, ADB изображены на рис. 1.

 

ИДЗ-2. Законы алгебры множеств

Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующего утверждения:

(A\B)È(B\A) = (AÈB)\(AÇB).

Решение: Разложим множества A и B на непересекающиеся подмножества {xA}, {xB}, {xAB}:

A = {xAÈxAB};

B = {xBÈxAB}.

В этих обозначениях для левой части предполагаемого равенства имеем:

A\B = {xAÈxAB}\{xBÈxAB} = {xA};

B\A = {xBÈxAB}\{xAÈxAB} = {xB};

(A\B)È(B\A) = {xA}È{xB} = {xAÈxB}.

Для правой части равенства имеем:

AÈB = {xAÈxAB}È{xBÈxAB} = {xAÈxBÈxAB};

AÇB = {xAÈxAB}Ç{xBÈxAB} = {xAB};

(AÈB)\(AÇB) = {xAÈxBÈxAB}\{xAB} = {xAÈxB}.

Левая и правая части доказываемого равенства одинаковы и равны {xAÈxB}. Справедливость утверждения установлена.

 


 

  Рис. 1

 

ИДЗ-3. Элементы комбинаторики

а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;

б) Решите комбинаторную задачу;

в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.



а) X = 10P4× ;

б) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Для участия в эстафете от группы требуется выставить команду из двух девушек и двух юношей. Сколькими способами можно сформировать команду?

в) Сколькими способами шесть пассажиров могут сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым?

Решение: 1а) С учетом известных формул комбинаторики (без повторений) для числа перестановок из n элементов:

Pn = n!;

размещений из n элементов по k элементов:

= ;

и сочетаний из n элементов по k элементов:

= ;

проведем необходимые преобразования:

X = 10P4× = 10×4!×× = 2×5!××5! =

= 5!×(2×– 1) = 5! = 120.

б) Число способов выбрать для участия в команде двух девушек равно:

= = = 45.

Аналогично, число способов выбрать для участия в команде двух юношей равно:

= = = 15.

Согласно комбинаторному принципу умножения, число способов сформировать команду из двух девушек и двух юношей равно:

n = ´ = 45´15 = 675.

в) Из условия задачи ясно, что в одном вагоне (из пяти) должны разместиться два пассажира, а в остальных четырех вагонах – по одному.

Для удобства будем считать, что вначале в один из вагонов электрички садятся два человека, отобранных из шести, а затем оставшиеся четыре человека рассаживаются по одному в оставшиеся четыре вагона.

Число способов выбрать два пассажира из шести составляет = 15. Число способов этой паре пассажиров разместиться в одном из пяти вагонов равно числу вагонов, т.е. 5. Таким образом, число способов двум пассажирам, отобранным из шести, разместиться парой в пяти вагонах, равно ´ 5 = 15´5 = 75. Оставшиеся четыре человека могут разместиться по одному в четырех вагонов числом способов равны числу перестановок из четырех: P4 = 4! = 24.



Окончательно, полное число способов шести пассажирам сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым, составляет n = ´5´P4 = 75´24 = 1800.

Ответ: a) X = 120; б) n = ´ = 675; в) n = 5 ´P5 = 1800.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!