Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Генеральная и выборочная совокупности



Закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

 

 

9. Формула полной вероятности и формула Байеса. По теореме сложения вероятностей несовместных событий . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

. Полученная формула называется формулой полной вероятности.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

,

откуда:

или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.

 

11. Формула Бернулли и ее следствие. Наивероятнейшее число наступлений события.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .

 

13,. Теорема Пуассона, Теорема Пуассона: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна:

, где .

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра–Лапласа: Пусть – вероятность события , причем . Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа:

Где ; .

Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

Где , .

 

 

15. Понятие случайной величины и ееСлучайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ).

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. 1) Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения. 2) Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.



 

 

Мода Медиана.

Мода ( ) непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой ( ) непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:

.

 

18.Функции распределения случайных величин и её свойства. Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

Если , то событие равно сумме событий , и .

Аналогично, если , то .

Свойства функции распределения:

1) Функция распределения принимает значения из промежутка : .

2) Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

3) Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

4) .

5) Если , то .

6) Если , то .

 

19. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.Свойства функции распределения:

1) Функция распределения принимает значения из промежутка : .

2) Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

3) Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

4) .

5) Если , то .

6) Если , то .

 

 

20. Математическое ожидание дискретной случайной величины Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:



,где .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .

Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

 

25. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики. Биномиальное распределение описывает повторяющиеся независимые опыты. Этот закон определяет появление события раз при независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом из этих опытов не изменяется от опыта к опыту. Вероятность:

,

где: – известная вероятность появления события в опыте, не изменяющаяся от опыта к опыту;

– вероятность непоявления события в опыте;

– заданное число появления события в опытах;

– число сочетаний из элементов по .

 

 

27.Геометрическое и гипергеометрическое распределение. Закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что в выборке из n различных объектов, вытянутых из поставки ровно k объектов являются бракованными.

В общем, если случайная величина X соответствует гипергеометрическому распределению с параметрами N, D и n, то вероятность получения ровно k успехов определяется формулой:

 

 

28. Равномерный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики. Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:

Дисперсия может быть вычислена следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:

.

 

30. Нормальный закон распределения. Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

 

31. Функция Лапласа. Для вычисления функции Лапласа используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

Функция обладает следующими свойствами: 1) ; 2) ; 3) функция – нечетная, т.е. = – , поэтому в таблицах обычно приводятся значения только для положительных ; 4) функция – монотонно возрастающая функция (это следует из того, что ). При , с точностью до тысячных можно принять .

29.Показательный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики. Показательным распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

,

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, получаем на основании общей формулы с учетом того, что при :

.

Интегрируя это выражение по частям, находим: .

Дисперсию для экспоненциального распределения можно получить, используя выражение:

.

Подставляя выражение для плотности вероятности, находим:

Вычисляя интеграл по частям, получаем: .

 

 

39. Предмет математической статистики.Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов, опирающаяся на теорию вероятностей.

Объектами изучения математической статистики являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайными являются следующие события: выигрыш на один билет денежной лотереи, соответствие контролируемого продукта установленным требованиям, безотказная работа автомобиля в течение первого месяца его эксплуатации, выполнение подрядчиком суточного графика работ.

 

 

Генеральная и выборочная совокупности.

Выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

 

36. Неравенство Маркова. Обобщенное неравенство Чебышева. Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство Маркова .

Оно вытекает из обобщенного неравенства Чебышева: Пусть функция монотонно возрастает и неотрицательна на . Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство .

Неравенство Чебышева: Если для случайной величины X существует , то для любого .

Если рассмотреть событие , противоположное событию , то из неравенства Чебышева следует, что .

 

41.вариационный ряд. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось раз, - раз и т.д. При этом объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами,а их отношения к объему выборки -относительными частотами. Вариационный рядможно представить таблицей вида:

X …..
n ….

 

37. Закон больших чисел в форме Чебышева. Его смысл. Следствие закона больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

.

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.

 

 

38. Центральная предельная теорема и ее смысл. Пусть случайные величины независимы и одинаково распределены со средними и дисперсиями . Пусть, кроме того, и – функция распределения случайной величины . Тогда , то есть закон распределения случайной величины при стремится к стандартному нормальному закону (здесь – функция Лапласа). Заметим, что .

42.точечное и интервальное…Гистограмма и полигон частот и относительных частот. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Полигон относительных частотстроится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал.

Гистограммой частотназывают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

 

 

44.статистическая гипотеза.Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

 

47. Критерий согласия Пирсона (χ2 -критерий). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К. Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты……………………

Эмпирические частоты…….

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!