Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Канонические уравнения поверхностей второго порядка



1. Эллипсоиды

1.1 – каноническоеуравнение эллипсоида

Частный случай: сфера.

1.2. мнимый эллипсоид

2. Гиперболоиды

2.1 Однополостные гиперболоиды

 

– вытянутый вдоль оси

– вдоль

– вдоль

1.2. Двуполостный гиперболоид.

1.3.

– вытянут вдоль

3. Параболоиды.

3.1. Эллиптический параболоид.

– вытянутый вдоль

– вдоль

– вдоль

3.2. Гиперболический параболоид.

4. Конус

 

4.1. – вытянут вдоль .

4.2. – мнимый.

Конус второго порядка с действительной вершиной (0,0,0).

5. Цилиндры.

5.1. Эллиптический цилиндр.

– вытянут вдоль .

(аналогично , )

мнимый эллиптический цилиндр.

1.2. Гиперболический цилиндр.

– вдоль .

5.3. Параболический цилиндр.

вдоль .

6. Плоскости.

6.1. Пара пересекающихся плоскостей

6.2. Пара параллельных плоскостей

6.3. Пара мнимых параллельных плоскостей

6.4. – пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой .

Раздел II. Интегрирование ФНП (8/8час.)

Тема 1. Задачи приводящие к понятию кратного интеграла. Двойной интеграл (2/2 час.)

Рассмотрим интегральное исчисление для функции двух переменных .

Задача об определении объема цилиндрического тела: ограниченного плоскостью , поверхностью и боковой цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельно оси .

Область вместе с точками контура называется замкнутой областью. Область – это проекция поверхности , называется основанием, ограниченным кривой .

Пусть непрерывна в области , а функция в .

1. Разобьем область на частей произвольной формы сетью гладких кривых, площади которых .

2. В каждой области выберем произвольно точку и вычислим в ней значение .

3. Составим интегрируемую сумму

.

-ступенчатое тело – сумма объемов прямых цилиндров, ограниченных плоскостью параллельно .

4. Перейдем к пределу при стремящемся к бесконечности. Будем требовать, чтоб при этом не только , но и все ее размеры. Диаметр – наибольшее расстояние между точками границы площади . Тогда при .

Определение.Если существует конечный предел

,

не зависящий ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области :

.

Справедливо утверждение, что если непрерывна в , то такой предел существует.

Если , то равен объему тела, образующая боковой поверхности которого параллельно оси , а направляющей служит граница области . – элемент площади, – область интегрирования.



Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть в области , тогда двойной интеграл

,

численно равен объему цилиндрического тела, находящегося над плоскостью , нижним основанием которого является область , верхним – часть поверхности , проецирующаяся в .

Физический смысл двойного интеграла

Пусть подынтегральная функция – поверхностная плотность материальной пластины, занимающей область . Тогда

– масса пластины.

Свойства двойных интегралов

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенного интеграла от функции :

1. в области : , где - площадь области интегрирования .

2. .

3. Если область интегрирования разбита на части , то .

4. Если для любой точки , то .

5. Если для любой точки , то .

6. (Теорема о среднем) Если непрерывна в и существует точка , то . То есть, существует цилиндр – основание которого совпадает с , высота равная функции – равновеликий по объему. Число называется средним значением функции в области .

7. .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!