Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами



 

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1, y2 и y3:

(5)

где все коэффициенты аi,j (i, j = 1,2,3) – постоянные. Будем искать частное решение системы (5) в виде

y1 = , y2 = , y3 = (6)

где а, β, γ, k – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6) удовлетворяли системе (5).

Подставив эти функции в систему (5) и сократив на множитель , получим:

или

(7)

Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алге­браических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(8)

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением, систе­мы (5). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени от­носительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и раз­личны: k1, k2, k3. Для каждого корня
ki (i = 1,2,3) напишем систему (7) и определим коэффициенты аi, βi, γi (один из коэффициентов можно счи­тать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k1 частное решение системы (5): y1(1) = , y2(1) = = , y3(1) = ;

для корня k2 – y1(2) = , y2(2) = , y3(2) = = ;

для корня k3 – y1(3) = , y2(3) = , y3(3) = = .

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (5) записывается в виде

y1(1) =c1 , y2(1) = c2 , y3(1) = c3 ,

y1(2) = c1 , y2(2) = c2 , y3(2) = c3 , (9)

y1(3) = c1 , y2(3) = c2 , y3(3) = c3 .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид: , или 1 - 2k + k2 - 4 = 0, k2 - 2k - 3 = =0, k1 = -1, k2 = 3. Частные решения данной системы ищем в виде: y1(1) = , y2(1) = и y1(2) = , y2(2) = . Найдем αi и β1 (i = 1, 2). При k1 = -1 система (7) имеет вид: т.е. Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим α1 = =1, тогда β1 = 2. Получаем частные решения y1(1) = , y2(1) = . При k2 = 3 система (7) имеет вид: Положим α2 = 1, тогда β2 = -2. Значит, корню k2 = 3 соответствуют частные решения: y1(2) = , y2(2) = . Общее решение исходной системы, согласно формуле (9), запишется в виде y1 =c1 +c2 , y2 = 2c1 -2c2 .



Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: k1 = а + ib, k2 = а -
- ib, k3. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их ли­нейные комбинации, применяя формулы Эйлера; в ре­зультате получим два действительных решения, содержащих функции ви­да еах·cos bx, eax·sin bx. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действитель­ных частных решения (можно показать, что они тоже являются решени­ями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k2 = a - ib не даст новых линейно независимых действительных решений.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности т (т = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

а) если т = 2, то у1 = (А + Вх)еkх, у2 = (С + Dx)ekx3 = (Е +
+ Fx)ekx
;

б) если т = 3, то У1 = (А + Вх + Сх2kх, у2 = (D + Ex +
+Fx2)ekx, уз = (G + Hx + Nx2)ekx.

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, ..., N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно независимых частных решений системы (5).



Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение ,

(1 - k)(2 - 2k - k + k2 - 1) - (-2 + k + 1) = 0, k1 = 2, k2 = k3 = 1. Корню k1 = 2 соответствует система (см. (7)): или . Полагая γ1 = 1, находим α1 = 1. Получаем одно частное решение исходной системы:
y1(1) = , y2(1) = 0, y3(1) = .

Двукратному корню k = k2 = k3 = 1 (m = 2) соответствует решение вида y1(2,3)=(А + Вх)ех, y2(2,3)=(С + Dх)ех, y3(2,3)=(E + +Fх)ех. Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы или, после сокращения на ех ≠ 0 и группировки,

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = B. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = B. Из четвертого уравнения находим E = A - D, т.е. E = A - B. Из третьего уравнения: C = E - B, C = A - 2 B. Коэффициенты A и B - произвольные.

Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, E = 1, F = 0.

Полагая А = 0, В = 1, находим: С = -2, D = 1, E = -1, F = 1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k = 1: y1(2) = , y2(2) = , y3(2) = и y1(3) = , y2(3) = , y3(3) = . Записываем общее решение исходной системы:

y1 = c1 +c2 + с3х ,

y2 = c2 +c3(х - 2) ,

y3 = c1 +c2 + с3(х - 1) .

 


Просмотров 343

Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!