Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интегрирование нормальных систем



Министерство сельского хозяйства РФ

ФГОУ ВПО ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики

Волынкина Т.И., Петрушина Н.Н.

 

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Методические указания для выполнения лабораторной работы, индивидуальных заданий и самостоятельной работы студентов инженерных специальностей

 

Орел, 2008


Методические указания составлены в соответствии с государственным стандартом и могут быть использованы для самостоятельной работы студентов инженерных специальностей с/х вузов.

 

 

Составили: ст. преп. Волынкина Т.И.

ст. преп. Петрушина Н.Н.

Рецензенты: доцент кафедры математики Академии ФСО, кандидат физико-математических наук Г.А. Кирюхина

 

доцент кафедры математики ФГОУ ВПО Орел ГАУ, кандидат экономических наук М.Н. Уварова

 


Оглавление

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 4

1. Основные понятия. 4

2. Интегрирование нормальных систем.. 7

3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 10

ИПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА MATHCAD ПРИ РЕШЕНИИ
СИСТЕМ ДУ.. 16

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ... 21

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ С ИПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD 25

Список литературы... 27

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач ди­намики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых со­держит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций у1, у2,...п, следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производ­ной, т. е. система вида

(1)

называется нормальной системой ДУ. Приэтом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения выс­ших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: = и, = v, = w, приводится к нормальной системе ДУ:



Уравнение третьего порядка у'" = f(x;y;y';y") путем замены у' = p, у" = р1 = q сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы(1) называется совокупность из п функций у1, у2, …, уп, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условиядля системы (1) имеют вид

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20,…, yn(x0) = yn0. (2)

Задача Кошидля системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема.

 

Теорема 1 (Коши).Если в системе (1) все функции fi(x;y1;...;yn) непрерыв­ны вместе со всеми своими частными производными по уi, в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке M0(x0; y10; y20; ... ;уn0) этой области существует, и притом единственное, решение
y1 = j1(x), y2 =j2(х), ..., yп = jn(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

 

Меняя в области D точку М0 (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от п произвольных постоянных:

y1 = j1(x;c1;c2;…;cn), ..., yп = jn(x;c1;c2;…;cn)

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные c1, с2,..., сn из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях посто­янных c1, c2, …, сn называется частным решением системы (1).


Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведенья системы к одному ДУ высшего порядка. (Обрат­ная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.



Пусть задана нормальная система (1). Продифференцируем по х лю­бое, например первое, уравнение:

Подставив в это равенство значения производных , , …, из системы (1), получим

,

или, коротко,

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных , , …, из системы (1), получим

Продолжая этот процесс (дифференцируем – подставляем – получаем), находим:

Соберем полученные уравнения в систему:

,Уп

(3)

Из первых (n - 1) уравнений системы (3) выразим функции
y2, у3,...,yn, через х, функцию y1 и ее производные у’, у1",...,
у1(n-1). Получим:

(4)

Найденные значения у2, у3,..., yп подставим в последнее уравнение систе­мы (3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y1: = Φ( ). Пусть его общее решение есть

.

Продифференцировав его (n - 1) раз и подставив значения производных у’, у1",..., у1(n-1) в уравнения системы (4), найдем функции y2, у3,...,yn:

, …, .

Пример 1. Решить систему уравнений .

Решение. Продифференцируем первое уравнение:

Подставляем в полученное равенство: Составляем систему уравнений: Из первого уравнения системы выражаем z через у и у′: . Подставляем значение z во второе уравнение системы: , т.е. . Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решаем его: k2 - k - 6 = 0, k1 = -2, k2 = 3 и
y = c1e-2x + c2e3x – общее решение уравнения. Находим функцию z. Значения у и у′ = (c1e-2x + c2e3x)′ = -2 c1e-2x + 3c2e3x подставляем в выражение z через у и у′. Получим: z = 2c1e-2x + c2e3x. Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид: y=c1e-2x + c2e3x, z = 2c1e-2x + c2e3x.

Замечание. Систему уравнений (1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством ариф­метических операций из уравнений данной системы образуют так назы­ваемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение. Сложим почленно данные уравнения:
x′ + y′ = x + y + 2 или (х + у)′ = (х + у) + 2. Обозначим х + у = z. Тогда имеем z′ = z + 2. Решаем полученное уравнение: или
x + y = c1et - 2. Получили так называемый первый интеграл системы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым уменьшить на единицу число искомых функций. Например, y = c1et - 2 - х. Тогда первое уравнение системы примет вид: x′ = c1et - 2 - х +1, т.е. x′ + х = c1et - 1. Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем и у.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!