Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей



2. Основним загальним методом розв’язування нерівностей, як і рівнянь, є метод перетворень. Такі перетворення повинні бути тотожними або рівносильними, бо в противному випадку ми можемо втратити або одержати сторонні корені. Для того, щоб щоразу не перевіряти чи рівносильними були перетворення, в математиці доводять відповідні теореми. Спочатку введемо означення понять „розв’язок нерівності”, „множина розв’язків нерівності”, а потім доведемо теореми про рівносильність нерівностей.

Означення: розв’язком нерівності f(x)>g(x) називається таке значення х0єX, яке перетворює нерівність із змінною в істинну числову нерівність f(х0)>g(х0).

Означення: сукупність усіх розв’язків нерівності прийнято називати множиною розв’язків нерівності або множиною розв’язків нерівності із змінною називається множина істинності відповідного предикату.

Означення: дві нерівності із змінними, називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині і множини їх розв’язків співпадають.

Означення: дві нерівності із змінною, які задані на одній і тій самій множні, називаються рівносильними, якщо всі розв’язки однієї нерівності є розв’язками другої нерівності і навпаки.

Дві нерівності можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в інший числовій області.

Теорема 1: якщо вираз j(x) визначений для всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (І) рівносильна нерівності f(x)+j(x)>g(x)+j(x) (II).

Доведення.

Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей. Саме тому доведення складатиметься з двох частин. У першій слід показати, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), а в другій – що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т1ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т2ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне х0, яке належить множині Т1 і підставимо його у нерівність (І). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(х0)>g(х0).

За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки х0ÎТ1ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(х0). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(х0)>g(х0) ‑ істинна числова нерівність, а j(х0) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(х0)+j(х0)>g(х0)+j(х0) - буде істинною числовою нерівністю. Отже, х0 – розв’язок нерівності (ІІ).



Значення х0 в множині Т1 ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ1. Істинну числову нерівність f(х0)+j(х0)>g(х0)+j(х0) ми можемо одержати із нерівності (ІІ), замінивши в ній х на х0, а це означає, що х0 є розв’язком нерівності (ІІ). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого х0єТ1. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), тобто Т1ÌТ2. Таким чином, першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т1ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т2ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне у0, яке належить множині Т2 і підставимо його у нерівність (ІІ). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(у0)+j(у0)>g(у0)+j(у0). За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки у0ÎТ2ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(у0). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(у0)+j(у0)>g(у0)+j(у0) ‑ істинна числова нерівність, а j(у0) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(у0)>g(у0) буде істинною числовою нерівністю.



Значення у0 в множині Т2 ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ2. Істинну числову нерівність f(у0)>g(у0) ми можемо одержати із нерівності (І), замінивши в ній х на у0, а це означає, що у0 є розв’язком нерівності (І). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого у0єТ2. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І), тобто Т2ÌТ1. Таким чином, другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т1ÌТ2, а другій, що Т2ÌТ1. Тоді на основі означення рівності множин Т12. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ). Таким чином, теорему доведено повністю, тобто нерівності (І) і (ІІ) рівносильні.

Теорема 2: якщо вираз j(х) визначений і набуває додатних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)>g(x)·j(x) (III).

Доведення теореми 2 складатиметься з двох частин і проводиться аналогічно до доведення теореми 1 або теореми 3. Саме тому пропонуємо студентам довести цю теорему самостійно.

Теорема 3: Якщо вираз j(х) визначений і набуває від’ємних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)<g(x)·j(x) (IV).

Доведення.

Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т1ÌХ - це множина розв’язків нерівності (І), а Т4ÌХ - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т1 довільне х0ÎТ1 і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х0)>g(х0). Підставивши х0 у вираз j(х), ми одержимо числовий вираз j(х0), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х0)>g(х0) на вираз j(х0), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х0)·j(х0)<g(х0)·j(х0) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х0. Це означає, що х0 є розв’язком нерівності (IV), тобто х0ÎТ4. Оскільки значення х0ÎТ1 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т1, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т4, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т1ÌТ4. Першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y0єТ4ÌХ і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y0)·j(y0)<g(y0)·j(y0). Оскільки j(y0) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у0ÎХ. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y0)·j(y0)<g(y0)·j(y0), ми одержимо істинну числову нерівність f(y0)>g(y0) (Чому?). Цю нерівність f(y0)>g(y0) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y0. Отже, y0 є розв’язком нерівності (І). Оскільки y0єТ4 ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y0єТ4. Це означає, що кожен елемент множини Т4 є елементом множини Т1, тобто Т4ÌТ1.

Таким чином, у першій частині ми довели, що Т1ÌТ4., а в другій – що Т4ÌТ1. На основі означення рівності множин це означає, що Т14. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!