Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Задачи для самостоятельного решения. СВ Х – сопротивление резистора в кило омах. i – номер резистора



Задача 1.

СВ Х – сопротивление резистора в кило омах.

i – номер резистора
xi – сопротивление резистора (ком) 4,8 6,2 6,0 5,9 5,6 4,9 6,0 6,1 5,5 5,8 5,7 5,1 5,5 6,2 5,4

 

Р (Х < 5) = ?

 

Задача 2.

СВ Х – еженедельные затраты времени ( в часах) на посещение библиотеки, определяемые путем анкетирования:

i – номер анкеты
xi – затраты времени (ч) 2,2 4,5 3,8 5,0 3,0 6,0 12,0 8,0 16,2 15,0 2,0 1,0

Р (8 < X < 14) = ?

 

Задача 3.

СВ Х – индуктивность катушки в мгн.

i – номер катушки
xi – индуктивность (мгн) 8,345 8,346 8,348 8,342 8,343 8,345 8,343 8,347 8,344 8,347

Р (8,345 < X < 8,349) = ?

 

Критерий согласия c2

Предположим, что по виду гистограммы или полигона частостей или из каких - либо других соображений удается выдвинуть гипотезу о множестве функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т. п.), к которому может принадлежать функция распределения исследуемой СВ Х. Критерий c2 Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения F*(x) с гипотетической функцией распределения F(x).

Для этого придерживаются следующей последовательности действий:

1) на основании гипотетической функции F(x) вычисляют вероятность попадания СВ Х в частичные интервалы :

; i =1, 2, ..., k;

2) умножая полученные вероятности pi на объем выборки n, получают теоретические частоты npi частичных интервалов ,т.е. частоты, которые следует ожидать, если гипотеза справедлива;

3) вычисляют выборочную статистику (критерий) c2:

c2набл. = .

Можно показать, что если гипотеза верна, то при распределение выборочной статистики, независимо от вида функции F(x), стремится к распределению c2 с n = k-r-1 степенями свободы ( k – число частичных интервалов, r - число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по данным выборки).



Критерий c2 сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия c2, тем вероятнее, что гипотеза справедлива. Поэтому для проведения гипотезы применяется критерий c2 с правосторонней критической областью. Необходимо найти по таблицам квантилей c2 – распределения по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы n = k-r-1 критическое значение , удовлетворяющее условию .

Если c2набл. ³c2a,n, то считается, что гипотетическая функция F(x) не согласуется с результатами эксперимента. Если c2набл. <c2a,n, то считается, что гипотетическая функция F(x) согласуется с результатами эксперимента.

Замечание. При применении критерия c2 необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5,то рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.

 

 

2.5Домашняя работа.

 

Каждому студенту в соответствии со своим номером варианта требуется:

1) записать исходную выборку в виде таблицы;

2) построить статистический ряд;

3) записать сгруппированную выборку в виде таблицы;

4) построить график эмпирической функции распределения;

5) построить гистограмму;

6) проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х и записать вычисления в таблицу;

7) построить график плотности случайной величины Х.

При выполнении работы принять уровень значимости a = 0,05, отрезок [24,5; 54,5], число интервалов k = 10. Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице.

i – му варианту соответствуют элементы выборки, расположенные в 15 – ти следующих строчках таблицы, начиная с i – й (объем выборки при этом n = 150).



 

 

Порядок выполнения работы

1. По данной выборке объема n строится статистический ряд

y1 y2 ... ye
n1 n2 ... ne

 

где y1 < y2 < ... <ye элементы выборки, записанные в порядке возрастания, ni – частоты появления одинаковых значений СВ Х.

2. На основе статистического ряда строится сгруппированная выборка. Для этого задается определенный отрезок [а, в], внутри которого расположены все элементы исследуемой выборки, число интервалов k, на которое делится этот отрезок. Находятся длины интервалов , концы интервалов , середины интервалов и соответствующие эмпирические частоты mi (mi – число элементов выборки, попавших в i – й интервал), i = 1, 2, ... k. Результаты вычислений заносятся в таблицу:

 

номер интервала границы интервала середины интервалов эмпирические частоты
i xi, xi+1 zi mi
. . . k      

 

3. Строится график эмпирической функции распределения

, при , .

4. Строится гистограмма – фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами .

5. Находится выборочное среднее , исправленная выборочная дисперсия ; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение .

6. Проверяется гипотеза о нормальном распределении СВ Х с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением с помощью критерия c2 Пирсона.

Для этого вычисляют теоретические частоты попадания СВ Х в i – й интервал ,

где .

Значения функции Лапласа находятся по таблице.

Если при некотором i эмпирическая или теоретическая частота меньше 5, тогда этот интервал объединяют с соседним, при этом теоретические и эмпирические частоты суммируются. После объединения получают r интервалов (r £ k).

Составляется статистика c2 Пирсона

c2набл. = .

Затем по закону уровня значимости a и числу степеней свободы n = r-3 находится критическая точка по таблице квантилей распределения c2. Если c2набл. >c2a,n, то гипотеза отвергается. Если c2набл. £c2a,n, гипотеза принимается.

7. Строится график плотности вероятности случайной величины Х, распределенной по нормальному закону.

 

Пример выполнения работы.

 

 

Для данной выборки объема n = 150 построим статистический ряд, где Y1<Y2<...<Ym – элементы выборки, записанные в порядке возрастания, ni – число повторений элемента Yi в выборке.

 

 

 

Граница интервала xi; xi+1 Середины интервалов Zi Эмпирические частоты mi
24.5 27.5 27.5 30.5 30.5 33.5 33.5 36.5 36.5 39.5 39.5 42.5 42.5 45.5 45.5 48.5 48.5 51.5 51.5 54.5

 

X = 40.34 XH = 2.465 k = 4

S = 5.51 XH (a, k) = 9.5 r = 7

 

Так как XH (a, k) ³ XH, то гипотеза о нормальном распределении принимается, результаты занесены в таблицу.

 

I xi; xi+1 mi pi npi (mi – npi)2
24.5 27.5 27.5 30.5 30.5 33.5 33.5 36.5 36.5 39.5 39.5 42.5 42.5 45.5 45.5 48.5 48.5 51.5 51.5 54.5 0.0078 0.0208 0.0768 0.1376 0.1998 0.2113 0.1721 0.1068 0.0477 0.0165 20.64 29.97 31.69 25.81 16.02   4.49   0.12 3.88 32.43 10.14 8.88   0.39   0.302   0.005 0.129 1.043 0.392 0.554   0.04

 

 

               
 
 
           
 
 
0,8              
 
 
0,6              
 
 
0,4              
 
 
0,2              
 
 
26 29 32 35 38 41 44 47 50 53
   

 

Эмпирическая функция распределения

при , .

 

 

 

График плотности вероятности СВ Х.

 

Литература.

1. Новицкий П.В.,Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. //Л.: Энергоатомиздат, 1991.

2. Рабинович С.Г. Погрешность измерений . Л.: Энергия, 1978.

3. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология. М.: Логос, 2000.

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!