Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интервальный вариационный ряд 1 часть



 

Индекс интервала i Число покупателей (интервалы) Частота Относительная частота
148-151 1/200
151-154
154-157 5/200
157-160 7/200
160-163 21/200
163-166 38/200
166-169 39/200
169-172 38/200
172-175 21/200
175-178 15/200
Окончание таблицы 5  
Индекс интервала i Число покупателей (интервалы) Частота Относительная частота
178-181 8/200
181-184 3/200
184-187 3/200
187-190 1/200

=1

 

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F*(x)= , то есть функцию найденную опытным путём. Здесь – относительная частота события Х< х, n - общее число значений.

Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.

 

Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функция так как . На концах интервалов значения функции рассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты» (Таблица 6).

Таблица 6

Расчёт эмпирической функции распределения

 

Индекс интервала i
1/200
1/200
1/200+5/200=6/200
6/200+7/200=13/200
13/200+21/200=34/200
34/200+38/200=72/200
Окончание таблицы 6
Индекс интервала i
72/200+39/200=111/200
111/200+38/200=149/200
149/200+21/200=170/200
170/200+15/200=185/200
185/200+8/200=193/200
193/200+3/200=196/200
196/200+3/200=199/200
199/200+1/200=200/200

 

 

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис.1).

Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где - среднее значение интервала , а - относительная частота.(таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Таблица 7

Дискретный вариационный ряд



 

Номер интервала i Среднее значение интервала Относительная частота Выборочная оценка плотности вероятности
149,5 0,005 0,002
152,5
155,5 0,025 0,008
Окончание таблицы 7
158,5 0,035 0,012
161,5 0,105 0,035
164,5 0,19 0,063
167,5 0,195 0,065
170,5 0,19 0,063
173,5 0,105 0,035
176,5 0,075 0,025
179,5 0,04 0,013
182,5 0,015 0,005
185,5 0,015 0,005
188,5 0,005 0,002

 

 
 

Рис.1

 
 

Рис.2

 

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

(7)

где n – число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:

(8)

где n-число испытаний,

h-длина частичного интервала,

-выборочное среднее квадратичное отклонение,

( - середина i – го частичного интервала)



– функция Лапласа (9)

Результаты вычислений отобразим в таблице №8.

Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

 

Таблица 8

Расчёт выравнивающих частот

 

   
149,5 152,5 155,5 158,5 161,5 164,5 167,5 170,5 173,5 176,5 179,5 182,5 185,5 188,5 -19,5 -16,5 -13,5 -10,5 -7,05 -4,05 -1,05 1,95 4,95 7,95 10,95 13,95 16,95 19,95 -3 -2,53 -2,06 -1,59 -1,11 -0,64 -0,17 0,31 0,78 1,25 1,73 2,2 2,67 3,15 0,004 0,02 0,048 0,11 0,22 0,33 0,396 0,38 0,3 0,18 0,09 0,04 0,011 0,003 0,42 1,55 4,54 10,68 20,37 31,0 37,48 36,0 28,0 17,34 8,44 3,37 1,06 0,26 0,05 0,01 0,025 0,055 0,1 0,155 0,185 0,18 0,14 0,085 0,04 0,015 0,005

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

 


Рис.3

 

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.

Выборочная средняя ( ):

или , (10)

где - частоты,

а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).

В некоторых случаях удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты - большие числа, поэтому используем разность:

(11)

где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае

. (12)

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:

, (13)

где (b выбирается положительным или отрицательным числом).

. Здесь С – середина 8-го интервала.

Выборочная дисперсия ( ):

(14)

также может быть рассчитана с помощью условных вариант:

(15)

= (1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21

Среднеквадратическое отклонение:

= (16)

= =6,34

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

и (17)

 

= =40,41 и S= 6,34=6,36

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P( -t Ф(t)= (18)

Из соотношения Ф(z)= /2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа ( Приложение А) находят z=1,96. Таким образом,

168,55-1,96 ,

167,67<a<169,43.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:

, (19)

где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q – параметр, который находится по таблице (Приложение В) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099. Таким образом,

,

5,79<

V= (20)

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

, , S=6,36.

Для расчёта теоретических частот используют табличные значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф(z), а затем :

, =0,5+Ф( ).

Например,

; ; Ф(-3,0)=-0,4987;

;

- далее вычисляют вероятности =P( ;

- находят числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления , , и приведены в таблице 9.

По формуле

= (21)

можно сделать проверку расчетов.

По таблице (приложения Г) можно найти число по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6 =12,6. Следовательно, критическая область - (12,6; ). Величина =15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При α=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6; ). Величина =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При α=0,01 =16,8, (16,8; ). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Таблица 9

Определение

 

i Ф( )
149,5 -0,500 0,000 0,0013 0,0013 0,26 -
149,5 152,5 -0,449 0,0013 0,0059 0,0046 0,92 -
152,5 155,5 -0,494 0,0059 0,02 0,014 2,8 -
155,5 158,5 -0,48 0,02 0,057 0,037 7,4 2,54
158,5 161,5 -0,44 0,057 0,134 0,077 15,4 4,58
161,5 164,5 -0,37 0,134 0,26 0,126 25,2 0,7
164,5 167,5 -0,24 0,26 0,433 0,1725 34,5 0,36
167,5 170,5 -0,07 0,433 0,62 0,188 37,6 0,06
170,5 173,5 0,12 0,62 0,78 0,16 1,125
173,5 176,5 0,28 0,78 0,89 0,11 0,045
176,5 179,5 0,39 0,89 0,96 0,07 0,071
179,5 182,5 0,46 0,96 0,99 0,03 6,125
182,5 185,5 0,49 0,99 0,996 0,006 1,2 -
185,5 188,5 0,496 0,996 0,999 0,003 0,6 -
188,5 0,5 0,999 1,0 0,001 0,2 -

,0000

2 часть

1) Данные таблицы 3 сгруппируем в корреляционную таблицу 10.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

Таблица 10

Корреляционная таблица

 

  Y/X
                                           
                                           
                                         
                                         
                                           
                                       
                                       
                                   
                                 
                                 
                           
                               
                                   
                             
                             
                               
                           
Окончание таблицы 10
                             
                         
                                 
                                 
                                   
                             
                                           
                                       
                                         
                                       
                                         
                                           
                                           
                                           
                                           
                                         
                                             
                                           

 
 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!