Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач



Теория пределов.

I. Понятие функции.

Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной.

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е, соответствует одно конечное значение величины у, то у называется функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной, определенной на множестве Е; х называется аргументом, или независимой переменной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражается записью: или , , и т.п.

Примечание 1: в дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.

Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у называют многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.

Примечание 2: в дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать только однозначные функции, если явно не оговорено противное.

Совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется областью существования, или областью определения функции.

Пример. Определить область существования функции .

Решение:Функция определена, если , Таким образом, область существования функции представляет собой совокупность двух интервалов: и .

Если уравнение может быть однозначно разрешено относительно переменного х, т.е. существует функция , такая, что , то функция , или в стандартных обозначениях , называется обратной по отношению к . Очевидно, что , т.е. функции и являются взаимно обратными.

В общем случае уравнение определяет многозначную обратную функцию такую, что , для всех у, являющихся значениями функции .

Пример. Для функции определить обратную.

Решение: , или , прологарифмировав, получаем:

Примечание: , как всегда, обозначает десятичный логарифм. Область определения полученной функции, очевидно, следующая: .

Частное значение функции в точке , т.е. ее значение при обозначают символом .

Например: Если , то , и т.д.

Если функция задана одной или несколькими формулами, то говорят, что она задана аналитическим способом.

Функцию можно задать также при помощи графика (графический способ) или при помощи таблицы (табличный способ). Множество точек (х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком функции.



Примечание: Вы неоднократно пользовались таблицами тригонометрических величин, логарифмическими таблицами и др. Обратите внимание, что графический способ задания функции чаще всего является вспомогательным, но весьма полезным, т.к. график дает наглядное представление о свойствах функции, подлежащих исследованию.

Основными элементарными функциями называются следующие:

1)степенная функция , где – любое действительное число;

2)показательная функция , ;

3)логарифмическая функция , ;

4)тригонометрическая функция , , , а также , , , .

Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь есть функция от другой переменной. Пусть , и , тогда есть сложная функция или функция от функции. Например, , , тогда ; , , тогда .

Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение определяет у как неявную функцию от х.

Одно и то же уравнение может задавать неявно не одну, а несколько функций. Например, уравнение задает неявно две функции и , определенные на множестве .

Примечание: Название «неявная» отражает способ задания функциональной зависимости.

Часто бывает полезно (например, при изучении неявных функций) функциональную зависимость между несколькими переменными выражать через вспомогательные переменные – параметры (в физике и механике – обычно «время»). Выражение переменных через параметры называют параметрическим заданием функциональной зависимости.

Пусть даны две функции аргумента t: , , тогда одна из них есть функция другой (как правило, она многозначна даже при однозначности ). Задание этой функции с помощью равенств (1) и является параметрическим.

Функция у от х называется элементарной, если ее можно задать одной формулой вида для всех х из области ее определения так, что каждое ее значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой переменной при помощи конечного числа элементарных операций.



Примечание: Элементарные операции делятся на алгебраические (сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень с целым показателем и извлечение корня) и трансцендентные (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, тригонометрические и обратные тригонометрические операции – переход от углов к их тригонометрическим величинам и обратно).

Пример: значение элементарной функции (в данном случае сложной) при х = 2 равно 1. Это значение найдено при помощи пяти операций. Четырех алгебраических и одной трансцендентной. Указанное число операций сохранится при любом х из области определения функции, т.е. если функция элементарна, то число операций для нахождения значений функции не зависит от ее аргумента.

 

Примерами неэлементарных функций могут также служить следующие:

,

Нетрудно видеть, что количество операций, необходимых для определения значений первой функции, неограниченно возрастает с возрастанием n.

Примечание: Произведение n первых целых чисел обозначается символом n! и читается «n факториал», например, ; и т.д.

Функция называется ограниченной сверху (снизу) в некоторой области значений аргумента, если существует такое число А, что для любого х из этой области. Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Пример:

1) Функция определена на всем множестве действительных чисел, ограничена, т.к. при любых значениях х по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. .

2) Функция в промежутке ограничена снизу, например, числом 1, но не ограничена сверху (см. рис.)   3) Функция на интервале не ограничена, т.е. (см. приложение).

 

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области, если для любой пары чисел , , принадлежащей этой области, из следует

.

Если же из следует , то функция называется неубывающей(невозрастающей).

Функции, удовлетворяющие первому или второму условиям, называются монотонными.

Пример:функция возрастает в интервале ; функция убывает на и .

Область определения Е функции называется симметричной относительно начала координат, если, каково бы ни было число х из Е, число (–х) тоже принадлежит этой области.

Функция , определенная в симметричной области, называется четной, если , и нечетной, если

Пример: функция - четная, т.к. , а функция - нечетная, т.к. . Их сумма не является ни четной, ни нечетной (обычно говорят «функция общего вида»)

Как для четных, так и для нечетных функция выполняется равенство:

(3)

Примечание: график четной функции симметричен относительно оси ординат Оу, а график нечетной – относительно начала координат.

Функция называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек х и из области определения функции имеет место равенство . При этом число t называют периодом функции. Положительный наименьший период, если он существует, называется основным периодом. Например, функции и имеют основной период, равный , а и - .

Пример: Даны две функции , . Они параметрически задают у как двузначную функцию х (и наоборот). Из первого уравнения находим: , так что . Подставляя во второе уравнение, получаем: или , а это ни что иное, как уравнение окружности.

Пример: уравнение , представляющее эллипс, задает двузначную функцию . Для параметрического ее задания можно выразить одну из переменных, например х, как через переменную t. Положив , найдем . Знак можно выбрать произвольно. Получаем одно из параметрических заданий функции (если возьмем знак «+»): , .

Полярные координаты. Пусть - произвольная точка плоскости, а х и у – ее прямоугольные координаты. Соединим точку М с началом координат О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = (т.е. расстояние от точки М до полюса О) называется полярным радиусом точки М, а угол , отсчитываемый от полярной оси Ох к отрезку ОМ против движения часовой стрелки, - полярным углом (см. рисунок ниже).

Полярный радиус и полярный угол и составляют полярные координаты.

Связь между прямоугольными и полярными координатами определяется формулами:

,

Обратно:

, , , (1)

В последних формулах предполагается, что .

Если

, то

, (знаки либо все верхние, либо все нижние).

Тогда выражения для х, у и остается неизменными.

 

        Пример: определить, какую линию представляет уравнение: . Решение: переходя к прямоугольной системе координат, находим: , т.е. , выделяем полный квадрат: ,

Это окружность радиуса R = a, центр которой (полюс) расположен в точке О(0,а).

Пример: Построить по точкам график функции , где а – некотрое положительное число.

Эта кривая называется спиралью Архимеда. На практике с ее помощью этой функции вычисляет длину спиралей. Для ее построения составим вспомогательную таблицу соответствующих значений и :

……
……

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом , откладываем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полученные точки линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек.

 

II. Предел функции.

 

Функцию, заданную на множестве натуральных чисел, обычно называют числовой последовательностью. Вместо f(n) (n = 1,2,3…) пишут . Числа - называют членами последовательности, а - общим членом последовательности. Числовая последовательность считается заданной, если мы знаем закон ее образования. В частности, закон образования последовательности будет известен, если ее общий член выражен формулой.

Например: Если , то соответствующая последовательность будет иметь в виду .

Переменная называется бесконечно малой (бесконечно большой), если, начиная с некоторого номера N, она по абсолютной величине становится и остается меньше (больше) любого наперед заданного сколь угодно малого (большого) положительного числа ε, т.е. ε ( ε), для (номер зависит от ε).

Примечание: Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая и наоборот (если ).

Переменная хn имеет своим пределом число а, если разность между ними есть бесконечно малая величина, т.е. если , где - бесконечно малая.

Это обозначают так: или при или при .

Замечание: запись обозначает, что число членов последовательности неограниченно увеличивается. Говорят также, что последовательность сходится к а. В частности, если бесконечно малая, то (или ( )).

Предел бесконечно малой величины равен нулю. Если - бесконечно большая величина, то пишут или ( ).

Пусть функция определена в некотором интервале. Если для любой последовательности значений х: , входящих в область определения функции и сходящихся к а, но отличных от а, соответствующая последовательность значений функции : , , ,..., ,… сходится и притом к одному и тому же числу А, то говорят, что функция стремится к А при , а число А называют пределом функции в точке а.

Обозначение: или при .

Примечание: Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частному значению функции в этой точке: .

Например, .

Теоремы о бесконечно малых величинах и о пределах. Раскрытие неопределенностей вида и .

1.Сумма конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

2.Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

3.Предел постоянной равен самой постоянной: .

4.Если существуют конечные пределы и , то имеют место следующие теоремы:

1)

2)

3)

4) , .

 

Примеры:

1.

2.

Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: , следовательно, величина есть бесконечно малая при .

3.

Применять теорему о пределе частного непосредственного нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю (при в знаменателе стоит бесконечно малая величина). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины на бесконечно большую при (см. примечание). Поэтому .

4

Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к. пределы знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида . В подобных примерах числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, сократить и затем перейти к пределу: .

Следует заметить, что х стремится к нулю, но не равен, его предел равен нулю.

5

В этом примере также имеем неопределенность вида . Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу.

Пример 6: .

При переменная х есть бесконечно малая величина, а при любых . Следовательно, величина - произведение бесконечно малой на ограниченную величину – будет также бесконечно малой величиной, поэтому ее предел .

7.

Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае говорят: имеем неопределенность вида .

В подобных примерах для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

, т.к. , , при есть величины бесконечно малые.

Для раскрытия неопределенности вида часто применяется первый замечательный предел.

, где угол выражен в радианах

Пример:

Преобразуем данное выражение так, чтобы задача была сведена к первому замечательному пределу

Неопределенности вида и раскрываются путем преобразования и сведения их к неопределенности и .

Пример: 1) .

Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель:

2)

Неопределенность вида легко свести к неопределенности вида или . Мы сведем к неопределенности вида :

.

В предпоследнем равенстве мы воспользовались заменой , при величина является бесконечно малой, т.е. .

Пусть функция имеет такой вид: .

Если при ( ) , а , то говорят, что имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности пользуются вторым замечательным пределом:

.

Число е иррациональное (е = 2,71828…)

Пример:

Т.к. по формуле (2) и .

Примечание: К замечательным пределам относятся не только два вышеприведенных, но и множество других, некоторые из них даны в приложении к данному пособию.

Две функции и , одновременно стремящиеся к нулю или бесконечно при , называется эквивалентными, если . Обозначение: ~ .

Примечание: Именно 1 – студенты часто путают!

Предел отношения бесконечно малых величин не изменится, если заменить их эквивалентными или бесконечно малыми величинами (см. Приложение 5).

Пример: Доказать, что ~ .

Т.к. , где второе и последнее равенство следуют из свойств логарифмов, (см. приложения), а - второй замечательный предел.

Пример:

, т.к. ~ , а ~ .

Пример: Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме при . Очевидно, что при все три слагаемых будут бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых:

 

Следовательно, функция при эквивалентна третьему слагаемому, т.е. .

На практике для вычисления пределов удобно пользоваться следующими формулами: , если ;

, если ;

, если , ;

, если , .

Если , но , то принято писать . Если , но , то пишут . пределы (если они существуют)

, и

называют соответственно пределом слева функции в точке а и пределом справа функции в точке а.

Равенство является необходимым и достаточным условием для существования предела функции в точке а. Пределы справа и слева называются односторонними.

Пример: Найти односторонние пределы следующих функций:

 

1) при .

 

   
 
 

 

, , отсюда видно, что если , то .   . Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.

 

 

2) , ( ) при .

, т.к.

, т.к. .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке не существует.

Функция непрерывна в точке , если она определена в окрестности этой точки и существует предел

Отсюда следует, что или , т.е. если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции .

 

        Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, т.к. в этом случае из соотношения (5) следует предел (4). Следовательно, для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее приращение в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением аргумента .

 

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, непрерывна и во всей этой области.

Если две функции и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и функции ; ; (если ).

Если функция непрерывна в интервале , а сложная функция непрерывна на множестве значений функции в интервале (А,В), то непрерывна в интервале .

Если условие непрерывности функции в точке не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.

Говорят, что функция имеет разрыв в точке первого рода, если существуют конечные пределы и , причем

1.Если , то называется неустранимой точкой разрыва.

2.Если , называется устранимой точкой разрыва, если существует.

Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы одних из односторонних пределов функции в этой точке не существует, либо равен бесконечности.

Если , то разность называется скачком функции в точке (разрыв второго рода – неустранимый).

Пример: Для функции имеем

, однако

.

Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции .

 

Примечание: Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить (пополнить) функцию в точке. В рассмотренном примере нужно положить в , тогда функция

является непрерывной в точке .

Пример: Для функции точка х = 0 является точкой разрыва,

т.к. в этой точке функция не определена ( не существует). При этом , . Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а - скачок данной функции

(т.е. если мы пополним эту функцию какой-то одной точкой, она все равно останется разрывной).

Замечание: Функция n переменных может иметь не только изолированные точки разрыва, а целые множества разрывов (линии, поверхности), например, функция имеет разрыв во всех точках параболы и во всех точках прямой .

Пример: Исследовать на непрерывность и построить график следующей функции:

Функция неэлементарна, определена на всем множестве действительных чисел, тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента.

Исследуем на непрерывность точки и : ; .

По условию , следовательно , т.е. функция непрерывна в точке .

, , т.е. в точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!