Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства гамма-распределения



· Если — независимые случайные величины, такие что , то

.

· Если , и a > 0 — произвольная константа, то

.

· Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

· Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

.

· Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то

.

· Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

.

· Согласно центральной предельной теореме, при больших k гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

при .

· Если X1,X2 — независимые случайные величины, такие что , то

.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение Γ(1,1) совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то − lnU˜Γ(1,1).

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.

2. Сгенерировать V2m − 1 и V2m — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

3. Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.

4. Положить . Перейти к шагу 6.

5. Положить .

6. Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.

7. Принять ξ = ξm за реализацию Γ(δ,1).

Подытожим:

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

 

Вопрос №37

ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Леммы Чебышева.

В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву*

Леммы Чебышева.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда

 




Доказательство:

Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x1, x2, ..., xn, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем


где суммирование распространено на все значения xi, большие или равные единице. Но для sub> , очевидно,


Поэтому

(50)


где xi<1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности . Поэтому

(51)


Последняя сумма распространена на все значения xi, принимаемые учайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:


Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем


Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)


Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.

Доказательство:

Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству


то


Случайная величина


неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,

так как

Поэтому

 


Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то




Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим

Вопрос №38

Теорема. Каково бы ни было е>0 для любой случай­ной величины X, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

 

Вопрос№39

 

 

 

Вопрос №40

Вопрос№41


Вопрос№42


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!