Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Непрерывные случайные величины



Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:


Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.
Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

(22)


Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1<x2, то на основании формул (20) и (22) имеем

(23)


Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием [x1,x2], ограниченной сверху кривой (рис. 6).


Так как , а на основании формулы (22)

, то

(24)


Пользуясь формулой (22), найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной**:

(25)


Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.
На основании формулы (23), полагая x1=x, , имеем


В силу непрерывности функции F(х) получим, что


Следовательно


Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств
, , ,

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

 




В самом деле, например,

 


так как

Вопрос№20

Плотность вероятности

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть m обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) ( ), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть - произвольное измеримое пространство, а μ и ν - две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная измеримая функция f, позволяющая выразить меру ν через меру μ в виде ν(A) = ∫ fdμ, A

     
     

то такую функцию называют плотностью меры ν по мере μ, или производной Радона-Никодима меры ν относительно меры μ, и обозначают

.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!