Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Довжина вектора. Напрямні косинуси



 

Довжину (модуль) вектора обчислюють за формулою

Ця формула безпосередньо випливає з того факту, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його ребер.

Оскільки координати вектора - це проекції вектора на координатні осі, то

де , , - кути, які вектор утворює з осями координат , , відповідно (рис.2)

 

Рис.2

 

Тоді (2)

Косинуси , , кутів , , називають напрямнимикосинусами вектора ; вони визначають напрям вектора в системі і задовольняють рівність

Звідси випливає, що орт вектора має вигляд

,

де напрямні косинуси визначають за формулою (2).

 

Дії над векторами.

 

Нехай вектори задані своїми координатами, тобто

, ,

тоді

 

Іншими словами, при додаванні векторів їхні відповідні координати додають; при множенні вектора на скаляр координати вектора множать на цей скаляр.

Вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати:

.

Колінеарність векторів.

 

З’ясуємо умови колінеарності векторів і , заданих своїми координатами. Нехай , тоді = , де - деяке число. Тоді

.

Звідси

, ,

тобто

(3)

Отже, координати колінеарних векторів пропорційні. І навпаки, якщо координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

 

Координати точки.

 

Довільній точці М простору можна зіставити у ПДСК вектор , який називають радіус-вектором точки М. Тоді існує єдина трійка чисел (х, у, z) така, що

.

Координати х, у, z радіус-вектора називають координатами точки М і пишуть М(х, у, z).

Якщо відомі координати початку та кінця вектора , то його координати знаходять за формулою

 

Довжину вектора (або відстань між точками А та В) записують так:

 

Поділ відрізка у даному відношенні.

 

Нехай задано відрізок точками і . Тоді координати точки М(х, у, z), яка ділить цей відрізок у відношенні , тобто , знаходять за формулами

 

(4)

 

Зокрема, координати точки, яка ділить відрізок навпіл ( , такі:

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ.

 

1. Дано точки , . Знайдіть:

а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;

б) координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні .

Розв'язання.

а)

; , , .

Орт вектора такий:



.

б) , тоді

 

, , .

 

2. Знайдіть вектор , якщо він утворює з осями координат однакові кути і .

Розв'язання. Враховуючи рівності

, ,

і умову , записуємо співвідношення

,

звідки дістаємо , , або .

Відповідь: або .

 

3. Чи колінеарні вектори і побудовані на векторах

і ?

Розв'язання. Послідовно дістаємо

.

Оскільки координати векторів і не пропорційні, то ці вектори не колінеарні.

4. Початком вектора є точка . Знайдіть координати точки Р, яка є кінцем вектора .

Розв'язання. Враховуючи умову рівності двох векторів, дістанемо

,

або

 

звідси , , тобто - кінець вектора .

 

5. Відомо, що вектори та колінеарні. Знайдіть і .

Розв'язання. Записуємо умову колінеарності заданих векторів:

 

звідси , .

 

6. Знайдіть подання вектора у базисі , .

 

Розв'язання. Передусім переконуємось, що вектори і утворюють базис:

. Записуємо розклад , де коефіцієнти та підлягають визначенню. Далі маємо

або

Звідси дістаємо систему рівнянь

 

,

розв’язок якої , .

 

Отже, .

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!