Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері



Берілген екі жиынға қолданылып үшінші жиынды анықтайтын амалдардың анықтамасын келтірейік. және кез келген есімді элементтер жиыны болсын.

және жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын жиын осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады да, (кейде ) түрінде белгіленеді.

Мысалы.1) Егер А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} болса, онда А È В = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.

2) Егер A = (–2; 3], B = [1; 4] болса, онда А È В = (–2; 4].

және жиындарының барлық ортақ элементтерінен тұратын жиын осы екі жиынның қиылысуы (кейде көбейтіндісі)деп аталады да, (кейде ) түрінде белгіленеді.

Мысалы. 1) А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} жиындары үшін А Ç В = {5, 6}.

2) A = (–2; 3], B = [1; 4] жиындары үшін А Ç В = [1; 3].

жиынынан жиынының айырымы деп жиынының жиынына енбеген барлық элементтерінен тұратын жиынды айтады және оны (кейде ) түрінде белгілейді.

Мысалы. 1) Егер А = {1, 3, 5, 6}, B = {5, 6, 7, 8, 9} болса, онда B \ A = {7, 8, 9}.

2) Егер A = (–2; 3], B = [1; 4] болса, онда B \ A = (3; 4].

Амалдардың бұл анықтамаларын жиынды анықтаудың жоғарыда айтылған тәсілін пайдаланып мына теңдіктер арқылы да жазуға болады:

болмаса

, және

, бірақ

Сонымен қатар, түрінде таңбаланып, теңдігі арқылы анықталған жиын және жиындарының симметриялы айырымы деп аталады.

Бұл амалдарға кейбір алгебралық қасиеттер тән. Мысалы біріктіру мен қиылысу амалдары үшін дистрибутивтік қасиет орындалады: кез келген жиындары үшін

теңдігі орындалады. Егер осы теңдікті бірігу мен қиылысудың басқаша таңбалануын қолданып қайта жазса

түрінде, яғни сандарды қосу және көбейту амалдары үшін орындалатын дистрибутивтік қасиет жиындарды біріктіру мен қиылыстыру амалдары үшін де орындалатынын байқаймыз.

болса, онда айырымы жиынының жиынына дейін толықтауышы деп аталады. Тек осы жағдайда ғана (арифметикалық таңбаларды қолданса бұл теңдік ) түрінде жазылып, сандарға тән қасиетті тағы да еске түсіреді, бірақ жиындар үшін бұл жалпы жағдайда орындалмайтын теңдік).



Эйлер-Венн диаграммасы

Кейбір жағдайларда жиындардың бірігулері, қиылысулары, айырымдары Эйлер-Венн диаграммаларымен кескінделеді. Жазықтықта жиындар тұйық сызықпен шектелген аймақтармен кескінделеді. Төменгі суретте А È В, А Ç В, A \ B жиындары штрихталған түрде көрсетілді:

Жиындардың тура (декартша) көбейтіндісі.

Анықтама 1. A және B жиындарының Декарт көбейтіндісі деп A және B жиындарының элементтерінен құралған барлық (x, y) реттелген қосақтарының жиыны аталады және A ´ B деп белгіленеді:

A ´ B = {(x, y)| x Î A, y Î B} немесе

Анықтама 2 Кез келген екі және жиындарының тік көбейтіндісідеп бірінші жиынның әрбір элементі мен екінші жиынның элементтерін жұптау нәтижесінде пайда болған барлық жұптарда тұратын жиынды атайды.

Мысалы . 1) Егер A = {1, 2, 3} және B = {a, b} болса, онда A ´ B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

2 ) Егер A = {x ï1 £ x £ 3} және B = {x ï 2 £ x £ 4} болса, онда A ´ B = {(x, y) ï1£ x £ 3 және 2 £ x £ 4}.

Алгебра ұғымы

Айтылым математиканың алғашқы (анықталмайтын) ұғымдарының бірі. Әдетте математикада жаңа ұғым бұрын берілген ұғымдар арқылы анықталады.



Алғашқы ұғымдар математиканың әртүрлі салаларында кездеседі. Мысалы, геометрияның алғашқы ұғымдары “нүкте”, “түзу”, “жазықтық”, “нүкте берілген түзуде жатады (түзуге тиісті)”, “нүкте берілген жазықтықта жатады (жазықтыққа тиісті)”, “түзу берілген жазықтықта жатады (жазықтықтан өтеді)” және тағы сол сияқты ұғымдар болады.

Математиканың алғашқы ұғымдар басқа мысалдары ретінде “жиын”, “элемент”, “элемент берілген жиынға тиісті”, “алгоритм” және тағы басқаларын келтіруге болады.

Сонда да айтылым ұғымын былай түсіндіруге (бұл анықтама емес, түсіндірме ғана) болады.

2. Айтылым деп ақиқат немесе жалған болатын хабарлы сөйлем аталады.

Айтылымдардың мысалдары: «2 жерде 2 – төрт», «Қосылғыштардың орны ауысқаннан кейін қосынды өзгермейді», «Астана – Қазақстанның бас қаласы», «Теңге – Қазақстан валютасы», «Бүгін сейсенбі», «Егер жаңбыр жауса, қолшатыр алыңыз» және тағы басқа айтылымдар.

Ал «Бөлменің ауданы 20 м2», «Қар жауып тұр», «x2 = 4» деген сөйлемдер айтылым болмайды, өйткені 1-сөйлемде нақтылы қандай бөлме екені көрсетілмеген, екінші сөйлемде қайда қар жауып тұрғанын көрсететін қосымша сөз керек, үшінші сөйлемде x айнымал болғандықтан сөйлем айтылым болмайды.

Айтылымдар бас латын әріптерімен белгіленеді: A, B, X1, Y2, Zk,.... Олардың ақиқаттық мәндері әдетте 1 немесе 0-мен белгіленеді, мұнда 1 – ақиқат, 0 – жалған.

Айтылымдарға қолданылатын негізгі операциялар терістеу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және биимпликация деп аталады.

A айтылымының терістеуі ØA деп белгіленеді. Егер A ақиқат болса, онда ØA жалған және A жалған болса, онда ØA ақиқат.

Мысалы, A = “5 > 0“ болса, онда ØA = “5 £ 0“.

ØA терістеуі “A емес“ деп оқылады.

Жалпы жағдайда терістеу ақиқаттық кестемен беріледі:

 

A ØA

 

Басқа логикалық амалдар келесі кестемен беріледі:

Анықтама. A және B айтылымдарының екеуі де ақиқат болғанда, тек сонда ғана A және B айтылымдарының конъюнкциясыақиқат болады.

A мен B айтылымдарының конъюнкциясы A Ù B белгіленеді және “A және B” деп оқылады. мысалы A = “7 – жай сан”, B = “7 – тақ сан” болса, онда A Ù B конъюнкциясы: “7 – тақ және жай сан” екенін білдіреді.

Кей кезде Ù таңбасының орнына & немесе × (көбейту нүктесі) таңбалары қолданылады.

Анықтама. A мен B айтылымдарының кем дегенде біреуі ақиқат болғанда, тек сонда ғана A және Bайтылымдарыныңдизъюнкциясыақиқат болады.

A мен B айтылымдарының дизъюнкциясы A Ú B деп белгіленеді және “A немесе B” деп оқылады. Мысалы «2 < 0» Ú «6 < 9» дизъюнкциясы ақиқат болады.

Анықтама. A айтылымы ақиқат, B жалған болғанда, тек сонда ғана A мен Bайтылымдарыныңимпликациясыжалған болады.

A мен B айтылымдарының импликациясы A B деп белгіленеді және “егер A болса, онда B”, “A-дан B шығады” немесе “B айтылымы A-ның салдары болады” деп оқылады.

A B түріндегі теоремада A айтылымы B айтылымына жеткілікті шарт, B айтылымы A айтылымына қажетті шарт деп аталады. Осы теореманы бірнеше түрде тұжырымдауға болады:

“Егер A болса, онда B”;

A (орындалу) үшін B (орындалу) қажетті”;

B (орындалу) үшін A (орындалу) жеткілікті”.

Анықтама. A мен B айтылымдары бір мезгілде ақиқат немесе жалған болғанда, тек сонда ғана A мен B айтылымдарының биимпликациясыақиқат болады.

A мен B айтылымдарының биимпликациясы A « B деп белгіленеді және “B (орындалғанда), сонда тек сонда ғана A (орындалады)”, “A мен B пара-пар”, “A шарты B шартына қажетті және жеткілікті шарт болады”.

Кей кезде биимпликация Û, º, », @ деп те белгіленеді.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!