Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Завдання Д-7. Малі вільні коливання механічної системи



Умова завдання. Механізм, що розташований у вертикальній площині (рис. Д7.0 – Д7.9), складається із ступінчастих коліс 1 і 2 з радіусами , що обертаються навколо нерухомих осей; однорідного стержня 3 довжиною , закріпленого шарніром; вантажів 4 та 5, підвішених до ниток, намотаних на колеса. Маса коліс 1 і 2 розподілена на зовнішніх радіусах. Відстань .

Стержень 3 з’єднаний з колесом 1 невагомим стержнем 6. Колеса 1 і 2 знаходяться в зачепленні або з’єднані невагомим стержнем 7. До коліс та стержня 3 прикріплені пружини.

В табл.Д7 задані маси тіл та коефіцієнти жорсткості пружин. Прочерки в стовпцях означають, що відповідні тіла або пружини в систему не входять (на рисунку не зображати). Остаточно в кожному варіанті залишається простий механізм, що містить три або два тіла. Стержень 6 або 7 входять в склад механізму, коли до нього входять обидва тіла, що з’єднуються цим стержнем.

В положеннях, показаних на рисунках, механізм знаходиться в положенні стійкої рівноваги.

 

Визначити:

1. Частоту та період малих коливань системи біля положення рівноваги.

2. Статичну деформацію пружини в положенні рівноваги.

 

 

 

 

 

Табл.Д7

Номер умови m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг m5, кг c1, Н/м с2, Н/м c3, Н/м
- 10 - - - - - - - - - - - - - - 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Теоретичне обґрунтування : [5] § 147, 148 ; [6] Разд.ІІІ. Гл.7. § 1-3 ;

[7] § 128 ; [8] , [9] , [13].

Методичні вказівки. Завдання Д-7 на тему “Малі лінійні коливання механічної системи поблизу положення рівноваги”. На систему діють тільки потенціальні сили, тому коливання будуть вільними. Для розв’язку задачі треба використати рівняння Лагранжа II роду:

 

, (Д7.1)

де або - узагальнена потенціальна сила;

( - кількість ступенів вільності системи);

( - кількість потенціальних сил, що діють на систему);



- кінетична енергія системи;

- і-та узагальнена координата;

- і-та узагальнена швидкість;

- узагальнена потенціальна сила, що відповідає і–ій узагальненій координаті (при розв’язуванні конкретних задач зручно позначати через ).

- сума можливих робіт потенціальних сил, що відбуваються на можливому переміщені системи за умовою, що >0;

- можливе зростання узагальненої координати ( >0);

- потенціальна енергія системи.

 

Кількість рівнянь Лагранжа II роду, що складається для розв’язування задачі, повинна дорівнювати кількості ступенів вільності, тобто кількості незалежних можливих переміщень, що має система.

У наведеному завданні система має один ступінь вільності, тому потрібно скласти лише одне рівняння Лагранжа ІІ роду. Після обчислення лівої і правої частини цього рівняння воно може бути записано у вигляді диференціального рівняння малих вільних коливань:

, (Д7.2)

де кругова частота малих вільних коливань.

 

Період коливань визначається за формулою:

(Д7.3)

Розглянемо два приклада розв’язування цього завдання.

 

Приклад Д-7.1

Механічна система (рис. Д7.а), що знаходиться в положенні стійкої рівноваги, складається з вагомого однорідного стержня 1, довжиною , диска 2, маса якого розподілена на радіусі , і вантажу 3. Маси тіл відповідно дорівнюють . Тіла з’єднані між собою за допомогою невагомих стержнів. В точках і шарніри; в точці А прикріплена горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості .

Дано:

.

Визначити:

1) частоту та період малих коливань системи

поблизу положення рівноваги;

2) статичну деформацію пружини в

положенні рівноваги.

Розв’язування.

Система має один ступінь вільності, рівновага – стійка. На систему діють тільки потенціальні сили (сили ваги і пружна сила). Виведемо систему із стану рівноваги. Виберемо за узагальнену координату кут відхилення стержня 1 від вертикалі, вважаючи його малим (рис.Д7.б). Тобто маємо і . Запишемо рівняння Лагранжа II роду:



 

(7.1)

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що стержень 1 обертається навколо нерухомої осі , диск 2 - навколо нерухомої осі , а тіло 3 - рухається поступально, маємо:

 

, (7.2)

де моменти інерції однорідного стержня 1 довжиною і шківа 2 (маса розподілена на ободі) відповідно дорівнюють:

, (7.3)

Виразимо швидкості, що входять в (7.2) через узагальнену швидкість :

(7.4)

Підставимо (7.3) і (7.4) у вираз (7.2):

(7.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості . Визначимо похідні, що входять в ліву частину рівняння (7.1):

(7.6)

 

2. Визначимо узагальнену потенціальну силу, яка відповідає узагальненій координаті , за формулою:

(7.7)

Зобразимо діючі на систему сили та . Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координата зростає, тобто >0 , та покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут , для вантажу 3 – переміщення . Для визначення узагальненої потенціальної сили обчислимо суму можливих робіт сил на цьому можливому переміщенні системи:

(7.8)

 

Можливу роботу сили ваги замінимо можливою роботою моменту сили ваги відносно точки О1, тобто:

,

бо плече між лінією дії сили і точкою дорівнює .

Для сил і відповідно маємо:

, бо точка прикладення сили нерухома;

, бо кут між силою і дорівнює нулю.

Можливу роботу пружної сили замінимо можливою роботою моменту пружної сили відносно точки О1, тобто

, бо плече між лінією дії сили і точкою дорівнює .

Величина пружної сили залежить від деформації пружини:

,

де статична деформація пружини (в положенні рівноваги), деформація пружини, коли систему вивели із стану рівноваги.

 

Враховуючи (7.4), виразимо можливе переміщення вантажу через узагальнене можливе переміщення , а деформацію через узагальнену координату :

; (7.9)

Підставимо (7.8) і (7.9) в формулу (7.7) та отримаємо узагальнену потенціальну силу у вигляді:

(7.10)

Коливання малі, тому можна вважати , Розкриємо дужки і будемо мати:

(7.11)

В положенні рівноваги (при ) узагальнена потенціальна сила тобто:

(7.12)

звідси знайдемо статичну деформацію :

Таким чином, узагальнена потенціальна сила, враховуючи (7.12), остаточно буде мати вигляд:

(7.13)

 

3. Складемо рівняння Лагранжа II роду. Підставимо (7.6) і (7.13) в рівняння (7.1):

 

(7.14)

Запишемо диференціальне рівняння малих вільних коливань у вигляді :

, тобто (7.15)

Підставимо числові значення, та знайдемо:

,

 

звідки кругова частота малих вільних коливань -1),

а період коливань

 

Відповідь: .

Примітка.

Узагальнену потенціальну силу можнавиразити через потенціальну енергію системи, тобто за формулою:

,

де потенціальна енергія системи в даному положенні, яка дорівнює роботі потенціальних сил при переміщенні системи з даного положення в початкове.

Потенціальна енергія системи складається з потенціальних енергій окремих потенціальних сил:

Потенціальну енергію пружної сили обчислимо за формулою:

, де .

Обчислимо також потенціальну енергію сил ваги.

Для сили ваги стержня 1:

Коливання малі, тому, розкладаючи функцію в ряд і залишаючи тільки член з , отримаємо . Остаточно для стержня

.

Для сили ваги диска 2: , бо центр ваги диска не рухається.

Для сили ваги вантажу 3: , де .

 

Остаточно потенціальна енергія системи:

.

Обчислимо узагальнену потенціальну силу:

,

що повністю збігається з формулою (11).

 

 

Приклад Д-7.2

Механічна система (рис. Д7.в) знаходиться в положенні стійкої рівноваги і складається з вагомого однорідного стержня 1 довжиною , диска 2, маса якого розподілена на радіусі , і вантажу 3. Маси тіл відповідно дорівнюють . Тіла з’єднані між собою за допомогою невагомих стержнів. В точках і шарніри; в точці А стержня 1 прикріплена вертикальна пружина з коефіцієнтом жорсткості .

Дано:

.

Визначити:

1) частоту та період малих коливань системи поблизу положення рівноваги; 2) статичну деформацію пружини в положенні рівноваги.

 

Розв’язування.

Система має один ступінь вільності, рівновага – стійка. На систему діють тільки потенціальні сили (сили ваги і пружна сила). Виведемо систему із стану рівноваги (рис.Д7.г). Виберемо за узагальнену координату кут відхилення стержня 1 від горизонталі, вважаючи його малим.

Тобто маємо і .

Запишемо рівняння Лагранжа II роду:

 

(7.1)

 

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що стержень 1 обертається навколо нерухомої осі , диск 2 - навколо нерухомої осі , а тіло 1 рухається поступально, маємо наступне:

, (7.2)

де моменти інерції однорідного стержня 1 довжиною і шківа 2 (маса розподілена на ободі) відповідно дорівнюють:

, (7.3)

Виразимо швидкості, що входять в (7.2) через узагальнену швидкість :

(7.4)

Підставимо (7.3) і (7.4) в рівняння (7.2):

(7.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості .

Отримаємо похідні, які входять в ліву частину рівняння (7.1):

(7.6)

 

2. Визначимо узагальнену потенціальну силу за формулою:

(7.7)

Зобразимо діючі на систему сили та . Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координата зростає, тобто >0 , та покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут , для вантажу 3 – переміщення . Для визначення узагальненої потенціальної сили обчислимо суму можливих робіт сил на заданому можливому переміщенні системи:

(7.8)

Можливу роботу сили ваги замінимо можливою роботою моменту сили ваги відносно точки , тобто

, бо плече сили відносно точки дорівнює .

, бо точка прикладення сили нерухома.

, бо кут між силою і дорівнює нулю.

Можливу роботу пружної сили замінимо можливою роботою моменту пружної сили відносно точки :

, бо плече сили відносно точки дорівнює .

Величина пружної сили:

,

де статична деформація пружини в положенні стійкої рівноваги системи; деформація пружини, коли систему вивели із стану рівноваги.

Враховуючі (7.4), виразимо можливе переміщення вантажу через можливе зростання узагальненої координати , а деформацію через узагальнену координату :

; (7.9)

Підставимо (7.8) і (7.9) в формулу (7.7) та отримаємо узагальнену потенціальну силу:

(7.10)

Коливання малі, тому можна вважати . Розкриємо дужки:

(7.11)

В положенні рівноваги (при ) узагальнена потенціальна сила тобто маємо:

(7.12)

Звідси знайдемо статичну деформацію :

Таким чином, узагальнена потенціальна сила, враховуючи (7.12), остаточно буде мати вигляд:

(7.13)

3. Складемо рівняння Лагранжа II роду. Підставимо (7.6) та (7.13) в рівняння (7.1):

 

(7.14)

Запишемо це рівняння у вигляді диференціального рівняння малих вільних коливань:

, тобто (7.15)

Підставимо числові значення, та знайдемо:

Звідки кругова частота -1),

а період коливань

Відповідь: .

 

Література

1. Освітньо-професійна програма вищої освіти за професійним спрямуванням “Інженерна механіка”. – Київ, МОН України. - 1994 р.

2. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений / Л.И.Котова, Р.И.Надеева, С.М.Тарг и др.; Под ред. С.М.Тарга - М.: Высш.шк., 1989.-111 с.

3. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников энергетических, горных, металлургических, электроприборостроения и автоматизации , технологических специальностей, а также геологических, электротехнических, электронной техники и автоматики, химико-технологических и инженерно-экономических специальностей вузов / Под ред. С.М.Тарга. – М.: Высш. шк., 1988. – 64 с.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – 1985.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 416 с.

6. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроит. спец. Вузов. – М.: Высш. школа, 1983. – 575 с.

7. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. Динамика. Учебник для втузов. М., «Высш. школа», 1984. - 423 с.

8. Діденко Г.О Настановні лекції з теоретичної механіки (для студентів-заочників немеханічних спеціальностей ). - Маріуполь, ПДТУ, 2001.- 38 с.

9. Карпенко Т.М. Конспект лекцій з теоретичної механіки. Динаміка.- Маріуполь, ПДТУ. – 2004, (www.pstu/l_u/metod/mm/TiPM/index.html).

10. Винникова В.Г. Телевизионная лекция «Кинетическая энергия и ее изменение». Части 1 и 2. - Маріуполь, ПДТУ, 2003, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

11. Діденко Г.О. Телевізійна лекція „ Динамічні рівняння механічної системи в узагальнених координатах”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

12. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Динаміка механічної системи”. Частини 1 і 2. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

13. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Принципи механіки”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

14. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Способи складання динамічних рівнянь руху практичних моделей механічної системи”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

 

П р и м і т к и


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!