Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 10. Криволинейный интеграл



Пискунов, гл. XV, § 1-2, упр. 1-5

Данко, гл. II, § 1-4

 

Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам.

Основные формулы.

 

1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).

 

где h=AB, имеющая уравнение y= j(x)

dh-дифференциал дуги ABили h.

 

2.Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).

 

 

где имеющая уравнение y=j(x),

j/(x)- производная y.

3.Определение криволинейного интеграла по координатам (2-го рода).

 

 

 

Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой

 

на криволинейном пути AB(механическое толкование).

 

4.

 

 

5.

 

 
 


( A C B)

 

 

6.Криволинейный интеграл II-го рода (по координатам) вычисляется по формуле:

 

где представлена уравнением y=j(x), [a,b]-отрезок изменения xдуги AB.

7.

 

 

т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

 

8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:

 

Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В , звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).

 

Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.

 

9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, находится по формуле:

10.2. Примеры решения задач.

 

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода по длине дуги

 

где L- отрезок прямой от т. O(0;0) до B(4;3)

 

Решение:

 

Уравнение прямой имеет вид:

 

или

 

Находим тогда

 

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y= x2, x= y2и 8xy=1.

 

Решение:

 
 

 

 


 

 

Решая совместно уравнения кривых находим координаты точек A и B:

 

Þ

Þ

 

 

Значит, или

 

Это краткое решение. Более подробное решение имеет вид:



 

или

 

1. -дуга параболы y= x2; dy=2xdx; тогда

2. - дуга кривой тогда

 

 

3. -дуга кривой тогда

 

 

 

 

Задача 3. Дано

Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции «U» и найти эту функцию.

 

Решение:

 

- требование полного дифференциала выполняется и данное

 

выражение можно записать , где U=U(x,y)- искомая функция.

 

Будем интегрировать dUпо ломаной OAM(см. рис.)

 

 

y . M (x;y)

 

O(0;0) A(x;0) x

 

 

Учтя, что на пути [OA] y=0; dy=0 а на пути [AM] x=const, dx=0, получим:

 

 

Ответ:

 

Задача 4. Найти центр тяжести дуги полуокружности лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице.

 

Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси (OY), поэтому

Xc=0.

Ордината , где dL-длина дуги.

 

 

 

- длина полуокружности, т.е

 

Тогда

 

Ответ:

 

Вопросы для самопроверки.

 

  1. Как определяется работа при движении точки в силовом поле?
  2. Дайте определение криволинейного интеграла I-го и II-го рода по данной линии.
  3. Запишите условие независимости криволинейного интеграла II-го рода (по координатам) от линии интегрирования.
  4. Укажите наиболее удобный способ вычисления криволинейного интеграла II-го рода от полного дифференциала функции U.
  5. Как вычисляется криволинейный интеграл I-го рода (по длине дуги)? Привести пример.
  6. Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией?

 

Контрольная работа № 2



В ЗАДАЧАХ 91-100 найти неопределённые интегралы способом подстановки

(методом замены переменной).

 

 

91. . 92.

 

 

93. 94.

 

95. 96.

 

97. 98.

 

99. 100.

 

В ЗАДАЧАХ 101-110 найти неопределённые интегралы применяя метод интегрирования по частям.

 

101. 102.

 

 

103. 104.

 

 

105. 106.

 

 

107. 108.

 

 

109. 110.

 

В ЗАДАЧАХ 111-120 найти неопределённые интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.

 

 

111. 112.

 

 

113. 114.

 

 

115. 116.

 

 

117. 118.

 

 

119. 120.

 

 

В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить определённые интегралы.

 

 

121. 122.

 

 

123. 124.

 

 

125. 126.

 

 

127. 128.

 

 

129. 130.

 

 

В ЗАДАЧАХ 131-140 вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

131.

 

132.

 

133.

 

134.

 

135.

 

136.

 

137.

 

138.

 

139.

 

140.

 

 

В ЗАДАЧАХ 141-150 найти длину дуги кривой.

 

 

141. 142.

 

143. 144.

 

145. 146.

 

147. 148. y =lnx,

 

149. 150.

 

В ЗАДАЧАХ 151-160 вычислить несобственные интегралы и установить их расходимость.

 

151. 152.

 

 

153. 154.

 

155. 156.

 

 

157. 158.

 

 

159. 160.

 

 

В ЗАДАЧАХ 161-210 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

 

161. 162.

 

163. 164.

 

165. 166.

 

167. 168.

 

169. 170.

 

В ЗАДАЧАХ 171-180 задана функция z= f(x,y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x0, y0) в направлении вектора составляющего угол a с положительным направлением оси OX.

171.

 

172.

 

173. M (2,2),

 

174.

 

175.

 

 

176. z =ln (x2+y2), M (3,4),

 

177. M (1,-2),

 

178.

 

179. M (1,1),

 

180. M (2,2),

 

В ЗАДАЧАХ 181-190 найти экстремум заданной функции.

 

 

181. 182.

 

183. 184.

 

185. 186.

 

187. 188.

 

189. 190.

 

 

В ЗАДАЧАХ 191-200 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

 

191. -x+2y = 1 192.

 

193. 3x - 4y =1 194. x2+y2 =9;

 

195. 196. x-5y =1.

 

197. x-3y-3 =0. 198. 2x-5y-1 =0.

 

199. 200. x+y+2=0.

 

 

В ЗАДАЧАХ 201-210 вычислить работу, совершаемую переменной силой на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки Mи N.

 

201. L-дуга параболы y=x2+2x;M(0;0),N(1;3)

202. L- дуга параболы y=2x2+1;M(0;1), N(2;9)

203. L-дуга кубической параболыy=x3;M(0;0),

N(2;8).

 

204. L- дуга параболы y=7x2+2x; M(0;0),

N(2;32)

 

205. L- отрезок прямой, соединяющий точки

M(1;2) и N (3;5)

206. L- дуга параболы y=3x2+x; M(1;4),

N (3;30).

 

207. L- дуга кубической параболы y=x3+1;

M(0;1),N(1;2).

 

208. L-дуга кубической параболы y=x3+2;

M(1;3),N(2;10).

 

209. L- дуга параболы y=x2+x; M(1;2), N(3;12).

 

210. L- дуга параболы y=3x2+2; M(2;14),

N (3;29).

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

 

Значение функции

X
0,0 0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0 0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0 0,0044

 

 

Продолжение табл. 1

 

 
3,2
3,3
3,4 ОО11 ОО11
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

 

 

Таблица 2

Значение функции

x Ф (x) x Ф (x) x Ф (x) x Ф (x)
0,00 0,0000 0,40 0,1554 0,80 0,2881 1,20 0,3849
0,01 0,0040 0,41 0,1591 0,81 0,2910 1,21 0,3869
0,02 0,0080 0,42 0,1628 0,82 0,2939 1,22 0,3883
0,03 0,0120 0,43 0,1664 0,83 0,2967 1,23 0,3907
0,04 0,0160 0,44 0,1700 0,84 0,2995 1,24 0,3925
0,05 0,0199 0,45 0,1736 0,85 0,3023 1,25 0,3944
0,06 0,0239 0,46 0,1772 0,86 0,3051 1,26 0,3962
0,07 0,0279 0,47 0,1808 0,87 0,3078 1,27 0,3980
0,08 0,0319 0,48 0,1844 0,88 0,3106 1,28 0,3997
0,09 0,0359 0,49 0,1879 0,89 0,3133 1,29 0,4015
0,10 0,0398 0,50 0,1915' 0,90 0,3159 1,30 0,4032
0,11 0,0438 0,51 0,1950 0,91 0,3186 1,31 0,4049
0,12 0,0478 0,52 0,1985 0,92 0,3212 1,32 0,4066
0,13 0,0517 0,53 0,2019 0,93 0,3238 1,33 0,4082
0,14 0,0557 0,54 0,2054 0,94 0,3264 1,34 0,4099
0,15 0,0596 0,55 0,2088 0,95 0,3289 1,35 0,4115
0,16 0,0636 0,56 0,2123 0,96 0,3315 1,36 0,4131
0,17 0,0675 0,57 0,2157 0,97 0,3340 1,37 0,4147
0,18 0,0714 0,58 0,2190 0,98 0,3365 1,38 0,4162
0,19 0,0753 0,59 0,2224 0,99 0,3389 1,39 0,4177
0,20 0,0793 0,60 0,2257 1,00 0,3413 1,40 0,4192
0,21 0,0832 0,61 0,2291 1,01 0,3438 1,41 0,4207
0,22 0,0871 0,62 0,2324 1,02 0,3461 1,42 0,4222
0,23 0,0910 0,63 0,2357 1,03 0,3485 1,43- 0,4236
0,24 0,0948 0,64 0,2389 1,04 0,3508 1,44 0,4251
0,25 0,0987 0,65 0,2422 1,05 0,3531 1,45 0,4265
0,26 0,1026 0,66 0,2454 1,06 0,3554 1,46 0,4279
0,27 0,1064 0,67 0,2486 1,07 0,3577 1,47 0,4292
0,28 0,1103 0,68 0,2517 1,08 0,3599 1,48 0,4306
0,29 0,1141 0,69 0,2549 1,09 0,3621 1,49 0,4319
0,30 0,1179 0,70 0,2580 1,10 0,3643 1,50 0,4332
0,31 0,1217 0,71 0,2611 1,11 0,3665 1,51 0,4345
0,32 0,1255 0,72 0,2642 1,12 0,3686 1,52 0,4357
0,33 0,1293 0,73 0,2673 1,13 0,3708 1,53 0,4370
0,34 0,1331 .0,74 ' 0,2703 1,14 0,3729 1,54 0,4382
0,35 0,1368 0,75 0,2734 1,15 0,3749 1,55 0,4394
0,36 0,1406 0,76 0,2764 1,16 0,3770 1,56 0,4406
0,37 0,1443 0,77 0,2794 1,17 0,3790 1,57 0,4418
0,38 0,1480 0,78 0,2823 1,18 0,3810 1,58 0,4429
0,39 0,1517 0,79 0,2852 1,19 0,3830 1,59 0,4441

Продолжение табл. 2

 

x Ф (x) x Ф (x) x Ф (x) x Ф (x)
1,60 0,4452 1,85 0,4678 2,20 0,4861 2,70 0,4965
1,61 0,4463 1,86 0,4686 2,22 0,4868 2,72 0,4967
1,62 0,4474 1,87 0,4693 2,24 0,4875 2,74 0,4969
1,63 0,4484 1,88 0,4699 2,26 0,4881 2,76 0,4971
1,64 0,4495 1,89 0,4706 2,28 0,4887 2,78 0,4973
1,65 0,4505 1,90 0,4713 2,30 0,4893 2,80 0,4974
1,66 0,4515 1,91 0,4719 2,32 0,4898 2,82 0,4976
1,67 0,4525 1,92 0,4726 2,34 0,4904 2,84 0,4977
1,68 0,4535 1,93 0,4732 2,36 0,4909 2,86 0,4979
1,69 0,4545 1,94 0,4738 2,38 0,4913 2,88 0,4980
1,70 0,4554 1,95 0,4744 2,40 8,4918 2,90 0,4981
1,71 0,4564 1,96 0,4750 2,42 0,4922 2,92 0,4982
1,72 0,4573 1,97 0,4756 2,44 0,4927 2,94 0,4984
1,73 0,4582 1,98 0,4761 2,46 0,4931 2,96 0,4985
1,74 0,4591 1,99 0,4767 2,48 0,4934 2,98 0,4986
1,75 0,4599 2,00 0,4772 2,50 0,4938 3,00 0,49865
1,76 0,4608 2,02 0,4783 2,52 0,4941 3,20 0,49931
1,77 0,4616 2,04 0,4793 2,54 0,4945 3,40 0,49966
1,78 0,4625 2,06 0,4803 2,56 0,4948 3,60 0,499841
1,79 0,4633 2,08 0,4812 2,58 0,4951 3,80 0,499928
1,80 0,4641 2,10 0,4821 2,60 0,4953 4,00 0,499968
1,81 0,4649 2,12 0,4830 2,62 0,4956 4,50 0,499997
1,82 0,4656 2,14 0,4838 2,64 0,4959 5,00 0,49999997
1,83 0,4664 2,16 0,4846 2,66 0,4961 ¥ 0,5
1,84 0,4671 2,18 0,4854 2,68 0,4963    

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!