Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 9. Функции нескольких переменных



Пискунов, гл VIII, § 1-17, гл IX, § 6. упр 1-49.

Данко, гл VIII, § 1-4.

 

9.1 Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.

 

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x,y) Î D по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие одно и только одно значение переменной ZÎ E, то говорят, что на множестве D задана функция z =f(x,y).

Множество D-область определения функции.

Область D есть часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.

Графиком функции z =f(x,y) является некоторая поверхность Q.

 

 

 

Задача. Найти область определения функции

 

Решение:

Функция zпринимает действительные значения при условии a2-x2-y2≥0→x2+y2≤ a2круг с центром в начале координат, радиус круга a.

 

Ответ: Областью определения данной функции является круг вида x2+y2 ≤ a2

(граница-окружность включается)

Изображение области определения на координатной плоскости ХОУ.

 

 

 

 

9.2 Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов.

 

Основные формулы.

 

1. - частная производная 1-го порядка функции z по переменной x.

 

2. - частная производная 1-го порядка функции Z по переменной y.

вычисляется при постоянном y, вычисляется при постоянном x.

При вычислении , используются правила и формулы дифференцирования (смотреть таблицу производных).

полный дифференциал функции

 

где - частные дифференциалы

функции

 

4. Для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства.

а) , где - полное приращение функции.

 

, dz- полный дифференциал.

 

Эта функция используется в нахождении приближённых значений функции.

5.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого

порядка.

 

6. - дифференциал второго порядка для функции

 

7. Если z= f(x,y) , где x= φ(t), y=ψ(t), то - производная сложной функции .z=f(φ(t),ψ(t)).

8. Если z=f(x,y), где то

 

9. Производная неявной функции , заданной уравнением ,где F(x,y)-дифференцируемая функция,

вычисляется по формуле:

 

10. Частные производные неявной функции заданной уравнением вычисляются по формулам:

 

 

при условии

9.3 Примеры решения задач.



Задача 1.

 

Найти .

 

Решение:

, где

 

Задача 2. Найти полный дифференциал функции z= x3y+ xtgx

 

Решение:

- теоретическая формула.

Где

 

Задача 3. Вычислить приближённое значение функции в точке P(2,97;4,02)

 

 

Решение:

 

 

т.Р

 

 

 

Тогда

 

Или

 

Или

Задача 4. Найти производную функции в направлении, составляющим с положительным направлением оси (ОХ) угол a=60°.

 

Решение:

 

, где aи b- углы наклона вектора к оси и к оси (OY)+ соответственно.

a=60°, тогда b=30°

 

тогда

- ответ.

 

Задача 5. Вычислить градиент функции в точке А (2;1).

 

Решение:

 

, где - базисные векторы, орты.

 

 

 

 

Задача 6. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

 

Решение:

 

Дифференцируя, получаем

Дифференцируя по x(y=const), получаем

 

Ответ:

Задача 7. Исследовать на экстремум функцию



 

 

Решение: (1) - необходимое условие экстремума.

 

(2) где является решением системы (1).

 

Неравенство (2) является достаточным условием экстремума.

 

Причём , если то в точке есть максимум функции.

И если то в точке есть минимум функции.

 

Имеем:

 

(1) Þ

 

есть экстремум, причём т.к

 

то в точке P0(0;3) есть максимум

 

Ответ:

 

Задача 8.

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь­нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).

 

Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необ­ходимо:

 

1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдель­ности;

3) сравнить полученные значения функции и уста­новить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

 

Находим стационарные точки, ле­жащие внутри заданной области:

 

 

 

 

Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему

 

 

находим стационарную точку Р0(1; 2). Эта точка принад­лежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

 

 

Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, от­резка оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА

у = 0, а 0 £ x £ 4. Если у=0, то z(x) = х22x + 5. Находим наибольшее и наи­меньшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:

 

 

 

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):

 

z(0) = 5, z(4)= 13.

 

На отрезке OB х = 0 и 0 £ y £ 4. Если х = 0, то z(y) = 2 -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее зна­чения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:

 

 

В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:

 

 

z(В) = z (0; 4) = 5.

 

Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в за­данную функцию z, получим

 

 

Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:

 

 

 

Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим зна­чение функции в этой точке:

 

 

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

 

Сравнивая полученные значения функции z в стацио­нарной точке Ро заданной области, в стационарных точ­ках на границах области P1, Р2, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкну­той области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Ро(1; 2). Итак,

 

Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.

 

Решение:

 

Речь идёт о дифференцировании сложной функции.

 

Используя формулу получим

 

Задача 10.

 

Исследовать на экстремум функцию z = - 4 + 6x-х2ху- у2.

Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f (x, у) на экстремум, необходимо:

1. Найти частные производные первого порядка и , приравнять их нулю и решить систему уравнений:

 

Каждая пара действительных корней этой системы опре­деляет одну стационарную точку исследуемой функции.

Пусть ро 0 , у0) одна из этих точек.

2. Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в каждой стационарной точке.

 

Положим, что

 

 

3. Составить и вычислить определитель второго порядка

4. Если в исследуемой стационарной точке р0( x0, y0) D>0, то функция z = f(x, у) в этой точке имеет макси­мум при A<0 и минимум при A>0; если D<0, то в исследуемой точке нет экстремума.

Если D = 0, то вопрос об экстремуме требует допол­нительного исследования.

 

Находим стационарные точки заданной функции:

 

 

Решение системы даёт x0= 4, y0= -2.

 

 

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку Ро(4, - 2).

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

 

 

Как видно, частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р0(4, -2). Имеем А = -2; В = - 1; С=-2.

 

 

Так как D>0 и A<0, то в точке Ро(4; -2) данная функ­ция имеет максимум:

 

 

9.10 Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!