Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 8. Определённыйинтеграл по отрезку



Определение: Определённым интегралом по отрезку [a;b]от функции f(x) называется предел интегральной суммы , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е

 

 

Числа a,bназываются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е [a;b]-отрезок интегрирования.

 

Свойства определённого интеграла по [a;b].

 

1.

 

2.

 

3.

 

 

4.

 

5. С- постоянная

 

Правила вычисления определённого интеграла по [a;b]

1. - формула Ньютона-Лейбница, где F(x)- первообразная

 

2. - интегрирование по частям.

 

3. , где x=j(t) функция непрерывная вместе со своей производной

на [a;b]

Например: Найти значение определённого интеграла

 

Решение:

 

Решаем методом подстановки

x e
t

Положим

 

 

Тогда

 

8.1 Несобственные интегралы.

К несобственным интегралам относятся:

 

  1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:

 

 

  1. Интегралы от разрывных функций (от неограниченных функций).

 

Пример 1. - несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке [-2;9]функция терпит бесконечный разрыв в точке x=0.

 

Пример 2. Вычислить

 

Решение

 

Пример 3. Вычислить

 

Решение:

Т.к - чётная функция.

 

Тогда

Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

 

Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

 

8.2 Приложения определённого интеграла по [a;b]

 

1. -площадь криволинейной трапеции, где y=f(x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.

 

 

 
 


 

 

2. - площадь криволинейной трапеции, если кривая задана

параметрически:

3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r= r(a) - уравнение кривой.

 

  1. вычисление длины дуги кривой y=f(x) на [a;b]

 

 

5. Вычисления объёма тела вращения.

 



Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси OX, то объём тела вращения вычисляется по формуле:

 

 

 

6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a £ x £ b) вычисляются по формулам (соответственно):

 

 

где - дифференциал дуги кривой y=f(x)

 

7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a £ x £ b)

выражаются формулами:

где L-длина дуги.

 

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x2 и осью ОХ.

 

Решение:

 

 

 
 
x

 


Решая систему, найдём точки пересечения: x=0; x=4.

Фигура OABO- криволинейная трапеция.

 

Значит, (кв. ед)

 

Задача 2. Найти длину дуги кривой y2=x3 от x=0 до x=1, (y ³ 0).

 

Решение:

Дифференцируем уравнение кривой

Имеем: (ед.)

 

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции полуокружности

(-r £ x £ r) относительно оси OX.

 

Решение.

1.

 

 

2.

Введём подстановку

. Если x=0, то t=0, если x=r, то .

 

Следовательно

Задача 4. Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли

 

Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.

 

 

 

 

По формуле имеем

Отсюда S=a2

 

8.3 Вопросы для самопроверки.

  1. Запишите формулу интегральной суммы функции f(x) на [a;b].
  2. Сформулируйте определение определённого интеграла по [a;b]
  3. Каков геометрический смысл

4. По какой формуле вычисляется Приведите примеры.

 

5. Дайте определение несобственного интеграла.



 

6. Является ли несобственными?

7. Геометрический смысл несобственных интегралов.

 

8. В каких задачах используются определённые интегралы по отрезку [a;b] в геометрии?

В механике?

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!