Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 7. Неопределённый интеграл



Пискунов, гл X, § 1-14, упр. 1-214.

Данко, гл IX, § 1-5.

 

7.1 Определение неопределённого интеграла.

Непосредственное интегрирование.

Определение 1. Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ),

если F´ ( x )=f ( x ) и dF ( x )= f ( x )dx.

Если функция f ( x ) имеет первообразную F ( x ), то она имеет бесчисленное множество первообразных вида F ( x )+С, где C- постоянная.

 

Определение 2. Неопределённым интегралом от функции f (x) или от выражения

f (x)dx называется совокупность всех её первообразных.

Обозначение:

Знак - знак интеграла

f (x)- подынтегральная функция

f (x)dx- подынтегральное выражение

x- переменная величина ( аргумент функции )

F (x)- первообразная

F(x)+С –совокупность первообразных.

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.

 

Таблица неопределённых интегралов.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4. 5.

 

6. 7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

 

11. 12.

 

 

13. 14.

 

 

15. .

 

Свойства дифференциалов.

1. , с- const

2. Например :

 

Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.

 

Например: Найти

Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:

 

7.2 Способы интегрирования.

  1. Подведение под знак дифференциала:

 

  1. Интегрирование по частям:

 

Классы функций, интегрируемых по частям:

 

a).

 

б).

 

в).

или или U= cosbx

 

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

 

 

4. Интегралы вида

 

 

-универсальная подстановка;

 

 

Для частных случаев:

 

а) формулы понижения порядка:

 

б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

 

 

5. Интегралы вида и

 

Подстановка

В частности:

 

для применяется формула

 

для -формула



 

6. Интегрирование иррациональностей.

 

а) подстановка

 

 

б) подстановка

 

в) Тригонометрические подстановки:

 

 

 

 

 

Например:

1) решается способом интегрирования по частям.

 

2) решается способом подведения функции под знак дифференциала.

3) - решается методом подстановки x=sint.

Примеры 1-3 решить самостоятельно.

 

Примеры решения задач.

 

№1 Найти

Решение . Данный интеграл не является табличным. Умножив на и на (3) одновременно подинтегральное выражение, получим:

 

d3x

 

№ 2. Найти интеграл:

 

Решение. Используем интегрирование по частям, т.е используем формулу:

 

 

Имеем:

 

№ 3. Найти интеграл:

 
 


Решение: Используем подстановку , чтобы сделать подынтегральное выражение рациональным (без корня).

Итак,

 

Тогда Jпримет вид:

 

 

Использованы операции:

 

1. Замена

2.Вынесен постоянный множитель 2.

3.Умножим и разделим на (-1).

4.В числителе подынтегральной дроби прибавили (+1) и (-1).

5.Использовано свойство:

6.Применили табличные формулы:

 

.
7. Замена переменной по формуле (из подстановки)

 

 

 
 
   

 


7.3 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение первообразной функции неопределённого интеграла. Приведите примеры.

2. Сформулировать свойства неопределённого интеграла.

3. В чём заключается геометрический смысл неопределённого интеграла?

4. Назовите основные методы интегрирования.

 

5. Решите: методом подстановки.

6. Примените формулу интегрирования по частям к интегралу:



7. Объяснить, почему ∫x2cosx3dxрешается способом подведения функции под знак дифференциала. Можно ли решить этот интеграл методом подстановки?

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!