![]() Дисциплины:
Архитектура (936) |
Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам
Пискунов, гл. V, §1-12, упр 1-134 Данко , ч. I, гл. 3
План исследования функции и построения графика. 1.Найти область определения функции. Решение этого вопроса указывает на те интервалы оси (ОХ), над которыми пройдёт график и на те значения аргумента x, над которыми график не пройдёт, а также в каких точках пройдут вертикальные асимптоты. 2.Исследовать на чётность, нечётность. Решение этого вопроса облегчает построение. 3.Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости. 4.Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости. 5.Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия для существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости. 6.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость. 7.Исследовать поведение функции на концах области определения. Это поможет при построении графика. 8.Можно взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика. 9.Построить график.
Задача 1.Исследовать функцию у = 1п(х2 — 6х +10) и построить ее график.
Решение: 1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так: х2—6x+10=(x-3)2 + 1. Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента х. Следовательно, областью существования данной функции служит вся числовая ось. 2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва. 3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не является ни четной, ни нечетной. 4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
Знаменатель х2- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум: Итак, A(3; 0) - точка минимума . Функция убывает на интервале (- ¥ , 3) и возрастает на интервале (3, + ¥). 5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную: Разобьем всю числовую ось на три интервала: ( - ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При x1 = 2 и х2 = 4 вторая производная меняет свой знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:
Следовательно, P1(2; ln 2) и P2(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах ( - ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4). 6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:
Имеем Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот.
|