Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 3. Основы векторной алгебры



Ефимов, гл. 7,8

Клетенник, гл. 8,9; Данко, гл. 2.

 

Операции над векторами.

1. - направленный отрезок.

  1. Сложение векторов.

 

 

 
 

 


+

или

       
   


+

 

  1. Вычитание векторов.

 
 


-

- или

 
 


  1. Умножение вектора на число.

 

3

Þ | | |

-3

Þ | | |

 

  1. Скалярное произведение.

 

 

1) · = )

2) · =P, P- число

3) =

4) =

Свойства:

1). · = -скалярное произведение векторов, заданных координатами.

2). cos j= (проекция вектора на ). Поэтому

· = cos j= =

3). = , = , где =

4). · =0, если ^

5). = или -условие коллинеарности векторов.

 

6). Угол между векторами:

, - условие перпендикулярности двух векторов.

7). · = ·

8). ·

9).

 

  1. Векторное произведение

 

удовлетворяет условиям:

 

 

1). и

2).

3). -образуют такую же ориентацию как

 

Свойства:

1). =

2). , где

3).

4). Если то

5).

6). Если , то

7.) - площадь параллелограмма.

-площадь треугольника.

8).

9).

 

  1. Смешанное произведение.

1). -форма записи смешанного произведения.

2). =

3). Если -компланарны , то

4). , если

5).

 
 

 

 


Д1 С1

 

М A1

В1

Д С

А В

 

 

, где V-объём параллелепипеда .

 

3. 2 Примеры решения задач.

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най­ти объем пирамиды ABCD.

 

Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

(1)

где ах, ау, аг — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

 

(2)

Тогда

(3)

 

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор



 

 

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

 

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век­тор :

 

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы­числяется по формуле

 

(4)

 

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

 

,

 

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

 

 

Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,

¢.

 

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

 

 

4. Площадь грани ABC равна половине площади па­раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век­тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора :

_

 

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не­компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ­ведение



Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.

 

3. 3 Вопросы для самопроверки.

  1. Дайте определение вектора.
  2. Какие векторы называются равными?
  3. Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.
  4. Запишите модуль вектора между координатами.
  5. Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).
  6. Дайте определение базису пространства.
  7. Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.
  8. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

 

Тема 4. Введение в анализ.

Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40

Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,

Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59

§ 11, упр 60-62.

 

4.1 Понятие предела.

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε>0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство <e при <

Этот факт записывается так:

Если , то говорят, что функция имеет пределом число aна бесконечности (x→∞).

Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т. .

Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).

 

Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X0 .

 

Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).

 

При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел

второй замечательный предел , а также формулы ,

 

4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .

 

I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

 

Пример.

 

Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -

 

предельное значение функции y.

 

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

 

 

Пример:

3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.

 

Таблица.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Пример: Найти

 

Решение.

II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

 

Пример. Найти

 

Решение:

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти [ -бесконечно малые величины ]=

Ответ:

 

 

4.2 Первый и второй замечательные пределы.

1. - первый замечательный предел.

Замечание. При x®0 sin x~ x

Пример 1.

 

Найти

если заменить , т.к , то

 

 

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

 

Пример 2. представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.

Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)

 

4.3 Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке x0, если выполняется равенство:

 

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0, если

где соответственно приращение аргумента и приращение функции.

 

Пример. Дана функция

Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

 

y


 

 

 

 

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е (ед). –скачок функции.

4.4 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: где C-const?

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x0 ?

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!