Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Специальные законы распределения



1. х2 -распределение Пирсона. Пусть X1, X2, ...,Хn оди­наково распределенные по нормальному закону случай­ные величины, являющиеся взаимно-независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение 1, тогда сумма квадратов этих случайных величин носит название случайной ве­личины х2 - xu-квадрат с v=n степенями свободы:

При v=l (учитывая дифференциальная функция:

Дифференциальная функция распределения χ2 с v=n степенями свободы задается формулой

где Г(х) - гамма, функция Эйлера.

при R+; если n Z, то Г(n+ 1)=n!

С возрастанием числа степеней свободы v = n, рас­пределение χ2 медленно приближается к нормальному закону распределения. На практике используют обыч­но не плотность вероятности, а квантили распределе­ния.

Квантилью χ2n распределения, отвечающей заданно­му уровню значимости α (альфа) – χ2α,ν , называется такое значение χ2= χ2α,ν, при котором вероятность того, что χ2 превысит значение χ2α,ν, равна α (рис.21):

Рис. 21. Дифференциальная функция распределения χ 2 с ν степенями свободы.

С геометрической точки зрения нахождение квантили

заключается в выборе такого значения Х2= 5Ca v при котором площадь криволинейной трапеции ограниченной дифференци­альной функцией была бы равна а. Значения квантилей затабулированы (прил.2). При n>30 распределение прак­тически не отличается от нормального.

Замечание.Квантиль СВ X порядка a - это такое зна­чение СВ X, что F(xa) = а, где F(x)=P(X<x). Например, медиана – это квантиль x0.5.

2. t- распределение Стъюдента.Это распределение имеет важное значение при статистических вычислени­ях, связанных с нормальным законом, распределения, где a - неизвестный параметр распределения и подлежит

определению из опытных данных, например, при стати­стической обработке наблюдений с неизвестной точно­стью.

Пусть X, X,, X2,...,Xk независимые нормально распре­делённые случайные величины с нулевыми математи­ческими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Без­размерная величина

называется дробью Стьюдента.

Ее распределение не зависит от а в силу ее безразмерности. Дифференциальная функция t-распределения с v=k степенями свободы имеет вид

t - распределение Стьюдента быстрее, чем х2 стремится к нормальному.

На практике используют квантили распределения в зави­симости от числа степеней свободы и уровня значимости α.



С геометрической точки зрения нахождение квантилей (для двусторонней области) заключается в выборе такого значе­ния t, при котором суммарная площадь криволинейной трапеции была бы равна α, в силу симметрии распреде­ления (рис. 22):

Рис.22. Дифференциальная функция t-распределения Стьюдента с v=k≤30 степенями свободы.

3. F-распределение Фишера-Снедекора.

Пусть Х1, X2, ...,Xm и Y1, Y2, ...,Yn одинаково распреде­ленные по нормальному закону случайные величины, явля­ющиеся взаимно-независимыми, для которых математичес­кое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклоне­ние равно единице.

Рассмотрим дробь Фишера F(m,n)=(χ2m/m)/(χ2n/n), она имеет F - распределение с v1= m - числом степеней сво­боды числителя, и v2=n - числом степеней свободы знамена­теля ((m, n) степенями свободы), которое называется распре­делением Фишера-Снедекора. Обычно используют кван­тили распределения в зависимости от числа степеней свободы (m, n) и уровня значимости а. (рис. 23):

Рис. 23. Дифференциальная функция F распределения Фишера -Снедекора с v1=5, v2=50 степенями свободы

Для квантилей распределения Фишера-Снедекора геомет­рический смысл аналогичен другим распределениям (рис.23). Имеет место равенство

 

 

Распределения χ2 - Пирсона, t - Стьюдента, F -Фишера-Снедекора нашли широкое применение в математической статистике, в частности при проверке статистических гипотез и в дисперсионном анализе.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!