Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной



Непрерывность функции

Определение 1.Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке х0 (т.е. существует ¦(х0));

2) имеет конечный предел функции при х ® х0;

3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.

 

Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

 

Теорема.Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).

Функция у = ¦(х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

 

Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…

Точка х0, в которой функция ¦(х) не является непрерывной называется точкой разрыва.

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х0, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х0.

Обозначим

а) в этом случае функция имеет скачок

б) но не равно значению функции в точке х0 , имеем устранимый разрыв.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

 

Вопрос 6 производная и дифференциал

Пусть функция у = ¦(х) определена на промежутке Х.Возьмем точку хÎХ. Дадим значению х приращение Dх¹0, тогда функция получит приращение Dу = ¦( х+Dх ) -¦( х ).

Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.

Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Производная функции у = ¦(х) в точке х0 является значением функции ¦¢( х) в точке х0.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Правила дифференцирования

§ Производная постоянной равна нулю, т.е. С¢=0.



§ Производная аргумента равна 1, т.е. х¢=1

§ Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v)¢ = u¢ + v¢.

§ Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v)¢ = u¢ v + u v¢.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu)¢ = Cu¢.

§ Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Теорема. Если у = f(u) и u = j (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е у¢ = ¦¢(u)u¢.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка.

Обозначение производных: ¦¢¢( х) - второго порядка, ¦¢¢¢( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом: ¦ (n) ( х) – производная n-го порядка.

Правило Лопиталя.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида [0/0] [¥/¥], то:

 

 


 


Вопрос 7.1 Теорема Ферма

Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x0)=0.

Вопрос 7.2 Теорема Роля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

§ непрерывна на [a,b];



§ дифференцируема на [a,b];

§ на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

§ непрерывна на [a,b];

§ дифференцируема на [a,b].

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.

 

Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность

 

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, х2... хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x1,х2,... хn).

Например, формула z = π x12 х2 задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x1 и высоты х2 .

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.

 

Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу). Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).

Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.

Функция z = f (x,у) называется непрерывнойв точке М000),если

1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.

2.

 

Вопрос 9 производные функций нескольких переменных Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу). Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно

Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.

Функция z = f (x,у) называется непрерывнойв точке М000),если

1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.

2.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е.

 

 

Вопрос 10 Дифференциалом функции называется главная линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f ¢(x) Dх.

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Формула для дифференцирования имеет вид:

dy = f ¢(x) dх или f ¢(x) = dy / dx.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию у = ¦( х), тогда ее дифференциал запишется так dy = f ¢(x) dх.

Рассматривая dy как функцию от х, можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции dy = f ¢(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2y. По определению d 2y = d (dy). Аналогично дифференциалом n-го порядка dny называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка, т.е d n y = d (d n-1 y).

Дифференциал n-го порядка вычисляется по формуле:

d n y = ¦ (n) (х) d х n.

Свойства дифференциала

1.dС = 0. 4. d(uv) = vdu + udv.

2. du) = C du. 5. d(u/v) = (vdu – u dv)/ v2.

3.d(u + v) = du +dv

Вопрос 11

Экстремум функции

Точка х0 называется точкой минимумафункции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0).

Точка х1 называется точкой максимумафункции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1).

Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремумафункции.

Необходимое и достаточное условие экстремума

Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум

Найти производную у¢ = ¦¢( х).

Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных

Как и в случае одной переменной, функция z = f (x,у) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.

Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x,у), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство:

 

Теорема (необходимое условие экстремума).Пусть точка М0 (х0, у0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f (x,у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю. Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Теорема (достаточное условие экстремума).Пусть функция z = f (x,у):

1) определена в некоторой окрестности стационарной точки (х00), в которой

2) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка (х0, у0) =А, (х0, у0) =(х0, у0) = В и (х0, у0) =С.

Тогда, если Δ=АС-В2>0, то в точке(х0, у0) функция имеет экстремум, причем, если А<0 – максимум, если А>0 – минимум.

В случае Δ= АС-В2 <0, функция экстремума не имеет.

Если Δ =АС-В2 =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследование функции двух переменных на экстремум:

1) Найти частные производные

2) Решить систему уравнений, и найти стационарные точки функции.

3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы

Функция F(х) называется первообразной функцииf (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х).

Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается ò f (х) dx , где ò - знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx– подынтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла:

1.Производная от неопр. интеграла равна подынтегральнойфункции, т.е. (ò f (х) dx) ¢= f (х).

2.Дифференциал неопр. инт-ла равен подынтегральному выражению, т.е. df (х) dx) = f (х) dх.

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. ò dF(x) =F(x) + C.

4.Неопр. интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ò [f (х) + g (x)] dx =ò f (х) dx + ò g (х) dx.

5.Постоянный множитель можно выносить за знак неопр. инт-ла, т.е. ò a f (х) dx =a ò f (х) dx.

 

 

Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы

К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD. На каждом отрезке [xi-1,xi] выберем некоторую точку ξi и обозначим ∆xi=xi -xi-1.Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной суммы при

 

Геометрический смысл определенного интеграла: это площадькриволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

6. если то

Теорема о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда найдется такая точка

что

 

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема также на произвольном отрезке [a,х], вложенном в [a,b]. Положим

где х принадлежит отрезку [a,b].

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом интервале, т. е.

 

Формула – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равенразностизначений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования

Вопрос 15


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!