Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства определенного интеграла



1По определению полагают: 2.

3.Каковы бы ни были точки a, b, c, имеет место равенство: ,при усл, что все эти интегралы существуют. Д-во: Пусть a<c<b, т.к. предел интегральн. суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, то будем проводить разбиение так, чтобы точка c всегда была точкой разбиения отрезка [a, b]. Пусть с=xm, тогда интегральн. сумму для функции f(x) на отрезке [a, b] представим в виде

(3)

Перейдем к пределу при в равенстве (3)

, т.к. по условию все три интеграла существуют, то из последнего равенства следует

4.

5.

 

 

Фомула Ньютона-Лейбница

Теорема: Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], тогда, если ф-ция F(x) явл. нек-рой первообразной для f(x) на [a, b], то = F(b) – F(a). Доказательство: т.к. ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], то ф-ция , где хÎ[a, b] явл. первообразной для ф-ции f(x). С др. стороны, т.к. Ф(х) и F(x) две первообразные, то Ф(х) = F(x) + C или = F(x) + C. (1). В равенстве (1) положим х = а, получим 0 = F(a) +C Þ C = - F(a). Подставим в равенство (1) найденное значение с. Получим: = F(x) – F(a). (2). В равенстве (2) полагаем х = в, получим = F(b) – F(a). Переобозначим в интеграле переменную t на х. Получим = F(x) = F(b) – F(a).

 

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

1. Замена переменной. Теорема: Пусть f(x) непрерывная на [a, b] ф-ция. Тогда, если: 1) ф-ция х = j(t) дифференцируема на [a, b] и j’(t) непрерывна на [a, b]. 2) множеством значений ф-ции j(t) явл. [a, b]. 3) j(a) = a, j(b) = b. То справ-ва формула = .

2. Интегрирование по частям

Теорема: Если ф-ции U = U(x) и V = V(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то справедлива формула = U*V - .

Доказательство: Т.к. (U*V)’ = U’*V + U*V’ и в этом равенстве все ф-ции интегрируемы на [a, b], т.к. они непрерывны по усл. Теоремы, то, проинтегрировав это равенство на [a, b], получим = + Þ UV = + . Получим формулу: = UV -

 

Приложение определенного интеграла в геометрии

Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОХ и ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0 находится по формуле . Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=j(x),

x=a, x=b, то площадь находится по формуле f(x) - j(x))dx (кривая f(x) лежит выше кривой j(x) ). Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ находится по формуле j(y)dy. 2.Объем тела вращения.



Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0. Предположим, что f(х) - непрерывная функция. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=xo< x1< x2<…< x n-1<x n = b. Через каждую точку деления проведем плоскость ^ оси ОХ. Все тело разобьется на n слоев. На каждом из частичных отрезков [хi-1; xi] выберем произвольным образом точку хi-1<=x<= xi . Объем каждого слоя заменим объемом цилиндра, высота которого D xi , а R= f(x). Объем ступенчатого тела s=pf2(x1) D x1 +pf2(x2) D x2 +…+ pf2(xn) D xn =p f2(xi) D xi . Это интегральная сумма для функции f2(x) на отрезке [a;b] . Т.к. функция f(x) непрерывна, то существует предел s= p f2(xi) D xi = l= {Dxi}. Этот предел и принимает за объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции оси ОХ. V= (вращение вокруг оси ОХ). V= (вращение вокруг оси ОУ). 3.Длина дуги кривой. Под длиной дуги понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а долина наибольшего звена стремится к нулю. В этом случае кривая называется спрямляемой. Пусть кривая задана непрерывной функцией y=f(х), которая имеет непрерывную производную f ’(х) на отрезке [a,b] , т.е. кривая является гладкой. Впишем в данную кривую ломаную линию М0М1…Мn, где М0=А(а, f(а)) и Мn=В(b,f(b)). Проэцируем Мk-1Mk на ось Ох, получаем разбиение {xk} отрезка [a,b]. Пусть Dyk – приращение функции f(х) на отрезке [xk-1xk]. По т Пифагора . По т. Лагранжа о конечных приращениях : Dyk=Dxkf ’(x k) (x kÎ[ xk-1xk]), Мk-1Mk= Dxk. Длина всей ломаной: s= Dxk. Тогда предел интегральн. суммы: l= Dxk.



 

3.7 Теорема о среднем значении функции

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка c € [a, b] такая, что Доказательство: Т.к. функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке она принимает свое наименьшее значение m и наибольшее значение M, тогда . Составим интегральную сумму для функции m, f(x), M.

в последнем равенстве перейдем к пределу при :

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает все промежуточные значения между m и M, из этого следует, что существует точка c € [a, b] такая, что , что и требовалось доказать. Замечание:

Значение функции называют средним значением функции y=f(x) на отрезке [a, b]

Геометрический смысл теоремы о среднем.

Из формулы (4) следует, что площадь криволинейной трапеции aABb=площади прямоугольника высотой f(c) и основанием (b-a).Нахождение средних издержек производства

Обозначим через y издержки производства, выраженные в денежных единицах, через x – объем выпущенной продукции. Очевидно, что издержки производства являются функцией от объема продукции, т.е.y=K(x). Предположим, что функция K(x) непрерывна, тогда согласно теореме о среднем значении функции среднее значение издержек при изменении объема продукции от а до в определяется следующим образом:

 

 

Несобственные интегралы.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!