Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Касательная прямая. Длина дуги. Натуральная параметризация



I. Основные вопросы

1. Касательная прямая. Нормаль плоской кривой, нормальная плоскость пространственной кривой.

2. Угол между кривыми в точке их пересечения.

3.Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

 

II. Упражнения с решениями

1. Для каждой из заданных кривых составить уравнение касательной прямой, а также нормали (если кривая плоская) или нормальной плоскости (если кривая пространственная) в указанной точке; сделать рисунки кривых:

а) (в точке с абсциссой 0);

б) (в точке (2;4;8));

в) (в точке, для которой );

г) (в точке (0;0;1)).

Решение. а)Параметризуем кривую: . Находим координаты заданной точки (х=0, y=1) и вычисляем в ней вектор скорости параметризации:

, . Следовательно, искомая касательная имеет уравнение , или Y=1.

Нормаль в заданной точке, очевидно, совпадает с осью y.

б) Параметр указанной точки находим, решая систему уравнений:

. Имеем: .

Итак, уравнение касательной прямой имеет вид:

а уравнение нормальной плоскости -

(X-2)+4(Y-4)+12(Z-8)=0, или X+4Y+12Z-114=0.

в) Параметризуем кривую, выбирая в качестве параметра полярный угол : Находим декартовы координаты точки вектор скорости параметризации в ней:

а также уравнение касательной -

и, наконец, уравнение нормали -

г) Обозначим: Находим:

В точке (0;0;1) имеем:

Следовательно, уравнения касательной прямой и нормальной плоскости соответственно имеют вид:

0(X-0)-2(Y-0)+0(Z-1)=0, или Y=0.

Ответ: а) Y=1 и X=0; б) и X+4Y+12Z-114=0;

в) и

г) X=0, Z=1 и Y=0.

2. Доказать, что гиперболы пересекаются под прямым углом .

Доказательство. Обозначим:

Имеем: Следовательно, в любой точке пересечения гипербол , т.е. их касательные прямые перпендикулярны.

3. Вычислить: а) длину дуги цепной линии (см. рис.17) между точками с абсциссами ; б) длину одной арки циклоиды; в) длину одного витка винтовой линии.

Решение. а) Параметризуя цепную линию и применяя формулу для нахождения длины l дуги параметризованной кривой между точками с параметрами , находим:

б) Параметрические уравнения циклоиды имеют вид (см. §3, п.II, задача 4):

Одной ее арке соответствует изменение параметра t от 0 до (см. рис.15). Поэтому имеем:

в) Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид (см. §3, п.II, задача 5):

Одному ее витку соответствует изменение параметра t от 0 до (см. рис.21). Поэтому имеем:



Ответ: а) ; б)8а; в)

 

4. Найти натуральную параметризацию кривой .

Решение. Воспользуемся формулой

Положим для простоты , т.е. отсчет длины дуги будем проводить от точки кривой, имеющей параметр t=0. Имеем:

Решая уравнение относительно t получаем:

Следовательно, натуральная параметризация кривой имеет вид:

Ответ:

5. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской регулярной кривой, заданной полярным уравнением Используя эту формулу, найти длину первого витка спирали Архимеда.

Решение. Параметризуя кривую в виде , и применяя формулу для нахождения длины дуги параметризованной кривой между точками с параметрами и , получаем:

Найдем длину первого витка спирали Архимеда (см. §3, п.II, задача 3 и рис.13). Имеем: ,

.

Ответ: , .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!