Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Завдання ДС. ДИНАМІКА МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ



 

Дослідження дінаміки руху системи матеріальних точок проводяться комплексно, шляхом використання різних методів для визначення основних характеристик руху конкретної механічної системи абсолютно твердих тіл під дією постійних сил ваги.

Такий підхід дозволяє, крім тривіального надання навиків використання теорії для практичних розрахунків та їх закріплення, розв’язати також дуже важливу проблему аналізу одержаних різними методами результатів розв'язку однієї задачі динаміки. Це дає можливість порівняти різні шляхи розв'язання однієї задачі і перевірити правильність отриманих результатів.

 

Умови задач завдань ДС

 

Механічна система (механізм), яка складена з декількох абсолютно твердих тіл, починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в'язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити в мить часу, коли тіло А пройде шлях S, величини які вказані в завданнях ДС.

Схеми механічних систем показані на рис. 8.

В завданнях прийняті слідуючи позначення: mA, mB, mБ, mД - маси тіл А, В, Б, Д; Rв=2rв, RД=1,5rД - радіуси великих і малих кіл; івх, ідх - радіуси інерції тіл В і Д, відносно горизонтальних осей, що проходять через їх центри мас, a, b - кути нахилу площин до горизонту; m - коефіцієнт тертя тіла А.

Необхідні дані наведені в таблиці 9.

 

Задачі завдання ДС

 

Задача ДС1.

Знайти швидкість тіла А даної механічної системи за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії.

 

Необхідно знати:

1. Теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи.

2. Формули, за якими визначається кінетична енергія при поступальному, обертальному і плоскому рухах твердого тіла.

3. Формули, за якими визначається робота постійної сили, змінної сили, сили тертя, сили тяжіння, моменту сили.

Необхідно вміти:

1. Визначати рухи твердого тіла.

2. Виконувати кінематичний розрахунок системи: за заданою швидкістю (прискоренням, переміщенням) даного тіла визначити швидкість (прискорення, переміщення) всіх об'єктів та точок, що складають систему твердих тіл.

3. Вираховувати кінетичну енергію конкретних твердих тіл, які складають механічну систему, в залежності від їх руху.

4. Вираховувати роботу конкретних сил, прикладених до тіл механічної системи.

 

Приклад виконання завдання

Задача. Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл (рис 3.3), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити швидкість тіла А системи в залежності від шляху S.



 

Дано:

; ; ; ; ;

S=6м; k=0,2.

Знайти VA(S).

 

Розв’язання. За умовою задачі вихідна механічна система (рис.3.3) складається з абсолютно твердих тіл і якщо силу тертя вважати заданою, а інші в’язі ідеальними, то маємо що , а , де - сума робіт зовнішніх сил, включаючи силу тертя. Крім того, в початковому положенні система нерухома і тому . Звідси випливає, що для даної системи теорема про зміну кінематичної енергії в інтегральній формі приймає вигляд:

 

. (а)

 

 

Рис. 3.3

 

Отже, надалі, згідно з формулою (а), треба визначити кінетичну енергію в кінцевому положенні системи і роботу зовнішніх сил при переході системи з початкового в кінцеве положення. Підставляючи одержані дані в (а) знайдемо . Але перед тим як це зробити треба всі змінні величини виразити через задану і шукану величини тобто через і S. Для цього проведемо відповідний попередній кінематичний розрахунок.

Перед усім виразимо швидкості усіх точок системи через швидкість тіла А, яке рухається поступально.

Лінійна швидкість точки L барабана В, що обертається навколо нерухомої осі, .

Звідси кутова швидкість блока В: і . Але нитка КС не розтягується і тому .

Миттєвий центр швидкостей катка Д знаходиться в точці його дотику до площини.

 

.

 

Що стосується до переміщень, то відношення між ними завжди такі, які між швидкостями і тому у даному випадку після того як всі змінні величини виражені через і S визначимо ліву і праву частини рівняння (а).

Почнемо з визначення кінематичної енергії системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі енергій всіх тіл, що складають дану систему:



 

. (б)

 

Знайдемо кінетичні енергії кожного з тіл окремо.

1). Тіло А здійснює поступальний рух і тому його кінетична енергія

 

.

 

2). Барабан В обертається навколо нерухомої осі і тому ,

де - момент інерції барабана відносно осі обертання . ,

де -радіус інерції.Отже .

3). Кінетична енергія циліндра Д, що здійснює плоскопаралельний рух: де - момент інерції однорідного суцільного циліндра відносно його центральної осі .

Підставляючи задані маси тіл і визначені з кінематичного розрахунку значення швидкостей і в (б) одержимо значення кінетичної енергії системи через швидкість : , (в).

Тепер обчислимо праву частину формули (а). Прикладемо всі зовнішні сили до тіл системи (рис.3.3) і знайдемо суму робіт цих сил на заданому переміщені S:

 

.

До тіла А прикладені зовнішні сили ваги і тертя, тобто , де , До тіла Д прикладена зовнішня сила ваги : .

Інші сили, прикладені до системи, роботи не здійснюють і тому . Отже . Звідси, враховуючи, що , дістанемо

 

. (г)

Підставимо (в) і (г) до (а) і одержимо що 1,525m , звідки . При S=6м маємо .

 

Відповідь: швидкість тіла А в залежності від шляху S виражається формулою (м/с).

 

Задача ДС2. Знайти умову рівноваги заданої механічної системи за допомогою принципа можливих переміщень.

Умови однакові для всіх задач ДС

Необхідно знати:

1. Визначення понять можливе і дійсне переміщення системи.

2. Принцип можливих переміщень.

3. Формули, за якими визначаться елементарна робота сил.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати переміщення твердого тіла.

2. Проводити кінематичній розрахунок механічної системи твердого тіла.

 

Приклад виконання завдання

Задача.Механічна система, яка показана на рис.3.4, знаходиться в рівновазі під дією сил ваги тіл які її складають. Знайти кут  при якому має місце стан рівноваги системи, якщо

Дано: ; ; ; .

 

Рис. 3.4

Розв’язання.Розглядається рівновага механічної системи твердих тіл (рис.3.4). Прикладемо до тіл системи всі зовнішні активні сили і реакції в`язей і покажемо їх на рис.3.4. Силу тертя віднесемо до відомих сил. Система має один степень вільності. Надаємо їй можливе переміщення і покажемо на рис.3.4 переміщення точок прикладання зовнішніх сил і . Згідно принципу можливих переміщень запишемо рівняння робіт прикладених до системи сил: Робота сил і дорівнює нулю, тому що сили перпендикулярні до переміщенням точок прикладання; роботи сил і дорівнють нулю, тому що точки їх прикладання нерухомі; робота сил і дорівнює:

 

 

Виключимо з цього рівняння невідомі елементарні переміщення. Для цього виразимо всі інші переміщення через одне з них, прийнявши його за незалежне, що можливо тому що система має один ступінь вільності. З кінематики відомо що відношення елементарних переміщень пропорційні відношенню швидкостей точок системи. Крім того і тому з одного боку а з другого звідки Отже маємо, що Але і тому

Підставимо це значення в рівняння робіт і одержимо:

 

 

або, після скорочення на

 

 

Знайдемо силу тертя . Після чого, враховуючи що P=mg, одержимо рівняння:

 

 

Вважаючи, що і sin =cos , маємо з попереднього рівняння

 

 

Відповідь: .

Задача ДС3. Скласти диференціальне рівняння руху тіла А даної механічної системи за допомогою загального рівняння динаміки.

Умови завдання однакові для всіх задач ДС.

Необхідно знати:

1. Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера - Лагранжа).

2. Визначення поняття - можливе переміщення системи.

3. Формули, за якими визначаються головний вектор і головний момент сил інерції твердого тіла в залежності від його руху.

4. Формули, за якими знаходиться робота сили.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати рухи тіла.

2. Проводити кінематичний розрахунок механічної системи твердих тіл.

 

Приклад виконання завдання

Задача. Механічна система, яка складається з трьох тіл A, B, D (рис.3.5) начинає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Визначити диференційне рівняння поступального руху тіла A, нехтуючи масами шнурів та тертям на осі О.

Дано: ; ; ; ; ; ; =30°, =60°.

 

Рис 3.5

Розв`язання: Система складається з трьох твердих тіл A, B, D, рух яких необхідно розглянути. Вона має один степень вільності і отже її положення цілком визначається одним параметром, наприклад, поступальним переміщенням тіла А. При цьому можна скласти одне загальне рівняння динаміки. Розглядаючи рух цієї системи (рис.3.5) нехтуватимемо, згідно з умовами задачі, силами тертя при обертанні блока В навколо осі О і при качанні диска D, вважати в`язі ідеальними.

Силу тертя ковзання тіла А будемо вважати відомою, тому що коефіцієнт тертя ковзання відомий і тому за формулою де - нормальна складова реакції тіла А.

Будемо вважати що механічна система рухається зліва направо. Покажемо її у довільному проміжному стані, як це зроблено на рис.3.5. Прикладемо до тіл систем активних сил, включаючи до них силу тертя тіла А. Враховуючи вид руху тіл системи направлення прискорень їх центрів мас, прикладемо до кожного з тіл відповідні головні вектори і моменти їх сил інерції , модулі яких визначимо аналітично.

Тіло А рухається поступально. Тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора, модуль якого

(a)

 

Тіло В обертається навколо нерухомої осі. Тому сили інерції його точок зводяться до головного моменту, модуль якого

де (б)

;

 

тому що швидкість точки L дорівнює швидкості тіла А, тобто і тому Отже,

 

Суцільний диск D робить плоский (плоскопаралельний) рух і тому сили інерції його точок зводяться до головного вектора і головного моменту :

 

 

Враховуючи що швидкість точки С, центра мас тіла D, дорівнює швидкості точки К тіла В, тобто будемо мати:

 

;    

Надамо механічній системі можливе переміщення і визначимо суму робіт всіх сил на цьому переміщенні:

. (в)

 

Складемо залежності між можливими переміщеннями. Для цього виразимо їх через переміщення тіла А - враховуючи що залежність між елементарними переміщеннями точок системи така сама як і між їх швидкостями,

 

 

Підставимо одержані значення в (в) і скоротимо на Остаточно матимемо:

 

=0,005.

 

Таким чином, одержано диференціальне рівняння прямолінійного поступального руху тіла А

 

Відповідь: диференціальне рівняння поступального руху тіла А:

 

Таблиця 9

 

№ схеми, варіанта mA mB mД mБ   RB RД ІВХ ІДХ a b S m
Кілограми   Метри   градуси   м  
    M   M   m 2m   M   1,5m 0,15m   0,25m   0,75m 4m   6m   8m 0,5   0,4   0,5 0,3   0,2   0,2 0,18   0,15   0,17 0,10   0,12   0,16         4,0   3,0   2б0 0,20   0,30   0,10
    M   M   m 0,5m   M   2m 0,10m   0,25m   0,20m 10m   5m   4m 0,4   0,6   0,5 0,4   0,3   0,5 0,16   0,14   0,15 0,15   0,10   0,13         2,5   3,0   4,0 -   0,30   0,20
    M   M   m 0,5m   1,5m   0,75m 0,30m   0,40m   0,10m Зm   6m   7m 0,6   0,3   0,4 0,3   0,4   0,3 0,20   0,18   0,16 0,14   0,15   0,12         2,5   4,5   2,0 0,15   0,12   0,14
          m   2,5m   0,20m   8m   0,6   0,4     0,12     0,15       2,5   0,25  
                                     

 


Рисунок 6

Література

1. М.А.Павловський .Теоретична механіка :підручник.-К.:Техніка,2004-512 с.-іл.

2. Е.І.Блінов.курс теоретичної механіки: навчальний посібник для студентів ХМІ: Херсон,вид.ХМІ,2006-163ст.-іл.

3. Н.Н.Никитин .Курс теоретической механіки: ученик 5 изд.,перераб. И доп -М : Высшая школа.1990-607 с.:ил.

4. С.М.Тарг.Краткий курс теоретической механики .М: Наука 1972-480с.:ил.

5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др./Под ред. А.А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.; Высш. шк., 1985.

6. Сборник задач по теоретической механике. Н.А. Брашниченко, В.А. Канн, В.Л. Минцберг и др. – М., ,,Высш. школа”, 1974.

7. Сборник задач по теоретической механике. К.С. Колесников, Г.Д. Блюмин, В.И. Дронг и др./ Под ред. К.С. Колесникова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М., ,,Наука”, 1989.

8. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: В 3 т.-М.: Наука, 1971-1973. - Т.1.-512 с.; Т.2.- 624 с.; Т.3.-487с.

 

 

ЗМІСТ

Вступ…………………..…………………………………………………2

 

Завдання С. Статика. Задача С1. Плоска система сил………………. .4

 

Задача С2.Просторова система сил.……………………………………8

 

Задача С3. Центр ваги………………………………..………………….12

 

Завдання К. Кінематика. Задача К1..…………………………………...17

 

Задача К2. Види рухів твердого тіла……………………………………20

 

Задача К3.Кінематичний аналіз плаского механізму…………………..26

 

Завдання Д. Дінаміка матеріальної точки.Задача ДТ1.

Пряма задача динаміки…………………………….…………………….30

 

Задача ДТ2…………….…………………………………………………..33

 

Завдання ДС. Динаміка механічної системи. Задача ДС1……………36

 

Задача ДС2…………………………………..…………………………….38

 

Задача ДС3……………………………………………………………………40

 

Література …………………………………………………………………46

 

Зміст…………………………………………………………………………...47


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!