Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Единственность решения внешних задач электродинамики



 

В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не охватывает рассматриваемую часть пространства, простираю­щуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения кроме одного из условий (2.1)-(2.4) требуется задать допол­нительное условие, характеризующее поведение векторов Е и Н в точках, бесконечно удаленных от поверхности S. Выясним, каким должно быть это дополнительное условие.

Пусть на S выполняется одно из условий (2.1)-(2.4). Предположим, что имеется два решения задачи E1, H1 и Е2, Н2, и введем в рассмотрение разностное поле Е3, Н3 по формулам (2.6). Как и в случае внутренней задачи электродинамики, векторы

Ё3 и Н3 удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.9) и одному из условий (2.10)—(2.13) на поверхности S. Из произвольной точки 0 внутри области V мысленно проведем сферу радиуса г так, чтобы вся область V и все сторонние источники оказались внутри этой сферы. Объем, заключенный между поверхностями S и S', обозначим через V (рис.2.1). Составим уравнение баланса для средних за период значений мощности поля Ё33 в объеме V:

Перейдем в уравнении (2.18) к пределу при r→ ∞. Тогда область V распространится на все пространство, внешнее по отношению к области V. Если в пределе третье слагаемое в левой части уравнения (2.18) окажется равным нулю, то получающееся при этом соотношение

не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравне­ния (2.14) для внутренней задачи электродинамики, и, следова­тельно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное решение. Действительно, при выполнении условий (2.1)-(2.3), вто­рое слагаемое в левой части (2.19) обращается в нуль, и это урав­нение принимает вид

В частном случае, когда потери в среде обусловлены только нали­чием проводимости, т.е. когда уравнение (2.20) записывается в форме

Так как а то из (2.21) получаем Ё3 =0, а из второго

уравнения Максвелла - Н3 = 0. Следовательно, Ё2 = Ё1 и Н2 = Н1.

Если на поверхности S выполняется условие (2.4), то из урав­нений (2.19) и (2.13) имеем

откуда также следует единственность решения.

В более общем случае, когда един­ственность решения доказывается также на основе формулы (2.20) для краевых условий (2.1)-(2.3) и на основе уравнения (2.19) в случае краевого условия (2.4). При этом должно быть использо­вано соотношение (1.156).

Найдем условие, при котором

и, следовательно, проведенное выше доказательство справедли­во. При r→ ∞ поверхность S' возрастает пропорционально r2. По­этому для выполнения условия (2.22) необходимо, чтобы абсолютная величина произведения [Ё3,Нз] при r→ ∞ убывала быстрее r-2. Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы Е и Н убывали быстрее, чем 1/r.



Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на поверхности S, ограничивающей объем V, выполняется одно из условий (2.1)-(2.4) и, кроме того, при r→ ∞ векторы Е и Н убывают быстрее, чем 1/r. Последнее все­гда имеет место, так как в любых реальных средах имеются поте­ри энергии.

Отметим, что теорему единственности для внешней задачи электродинамики можно доказать и в случае среды без потерь, если вместо условия убывания векторов Е и Н при r→ ∞ быстрее 1/г потребовать выполнения следующих условий:

Предельные соотношения (2.23) называются условиями излу­чения. Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически эти условия эквивалентны требованию, чтобы при r→ ∞ поле имело характер поперечных волн, распространяющихся вдоль направле­ния r0 (предполагается, что источники поля находятся на конечном расстоянии от поверхности S). Использованный здесь термин "по­перечная волна" определен в гл.5.

Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет особенности типа из­ломов, острых кромок и др., для единственности решения краевой задачи электро­динамики перечисленных условий недостаточно. Необходимо выполнение допол­нительных условий, определяющих поведение составляющих векторов Е и Н вбли­зи этих особенностей.

К таким условиям относятся, в частности, "условия на ребре", сформулиро­ванные Мейкснером для случая идеально проводящих тел. Рассмотрим эти усло­вия. Пусть контур Со представляет собой ребро (острую кромку) идеально проводящей поверхности S. Введем систему координат (рис. 2.2), связанную с контуром Со, где s - длина дуги, отсчитываемая вдоль контура Со от некоторой точки О Є Со, а - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной Со. Ус­ловия на ребре записываются в виде



Соотношения (2.24) должны выполняться равномерно по

 

 

 

Условия на ребре (2.24) обеспечивают существование интеграла

где Vr - объем кольцевой области радиуса r, охватывающей контур Со. Существо­вание этого интеграла эквивалентно выполнению требования ограниченности энер­гии электромагнитного поля в любом конечном объеме, охватывающем контур Со (рис.2.3). Анализируя соотношения (2.24) совместно с уравнениями Максвелла,

можно показать, что касательные к ребру (контуру Со) составляющие долж­ны быть ограниченными, а нормальные к ребру составляющие могут иметь

особенности вида г-x, где 0<х < 1. Для определения параметра и нужно знать внутренний угол так называемого эквивалентного клина, который строится сле­дующим образом. Через произвольную точку М на рассматриваемом ребре Со про­водится касательная l к Со и две полуплоскости, касательные к S в точке М, так, чтобы их ребра совпали с l Клин, образованный этими полуплоскостями, и назы­вают эквивалентным клином (на рис. 2.4 показано сечение поверхности S плоско­стью, перпендикулярной ребру эквивалентного клина в точке М; касательная l пер­пендикулярна плоскости рисунка, а ее след совпадает с точкой М). Пусть внутрен­ний угол эквивалентного клина равен Ω. (предполагается, что Ω< π). Анализируя структуры полей вблизи ребра идеально проводящего клина, найденные на основе

решения соответствующих краевых задач, получили, что x = (π - Ω)/(2π - Ω). В ча­стном случае, когда поверхность S имеет острую кромку (например, на краю беско­нечно тонкого экрана), Ω = 0 и х = 1/2. На таком ребре составляющие имеют

особенность вида const , а составляющие обращаются в нуль как

Из приведенного выше доказательства единственности реше­ния краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии потерь энергии в области V решение внутренней задачи может быть неединственным. Физически это означает, что в такой систе­ме помимо полей, созданных непрерывно действующими сторон­ними источниками, могут существовать незатухающие поля, соз­данные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно долго (например, собственные колебания идеального объемного резонатора).


 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!