Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Непротиворечивость в ультраинтуиционизме



В связи с темой непротиворечивости и отождествлений нельзя обойти молчанием ультраинтуиционистскую программу обоснования математики[cxxvi], тем более, что она является российским приоритетом.

Появлению этой программы предшествовали, и на мой взгляд способствовали, следующие важные обстоятельства:

1). Статья А.Н.Колмогорова “О принципе tertium non datur” (1925), в которой, проанализировав классическую аксиоматику Гильберта с точки зрения интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, Колмогоров выразил сомнение в интуитивной ясности принципа ex falso sequitur quodlibet и отказался от этого принципа в своей минимальной логике.

2). Сомнения Н.Н.Лузина в однозначности натурального ряда, высказанные им в письме к К.Куратовскому[cxxvii].

3). Явное указание А.А.Марковым на роль абстракции отождествления (помимо абстракции потенциальной осуществимости) в конструктивном понимании математических суждений (1951).

4). Принятое в школе Гильберта априорное понимание тождества объектов формальной теории, независимое от того, идет ли речь о фактически осуществимых (построенных) объектах или о тех объектах, осуществимость (построение) которых лишь предполагается (считается) возможным на основе классических (традиционных) абстракций теории и независимо от тех предположений об отождествлениях и отождествимости, которыми фактически руководствуются при изучении формальных теорий.

Конечно, в принципе не так уж важно, действительно ли повлияли перечисленные выше обстоятельства на формирование ультраинтуиционистской концепции. Важно, что сама эта концепция привела к изменению классического взгляда на непротиворечивость. Она сделала существенным моментом каждого проводимого доказательства операцию отождествления объектов, входящих в это доказательство, предложив по существу новую семантику для формул, в которой смысл каждой формулы связывается с ее вхождением в доказательство.

Согласно ультраинтуиционизму, осмысленность формулы (A & ØA), выражающей противоречие, предполагает (неявно) отождествление A в обоих вхождениях. При этом не исключаются ситуации, когда суждение A должно быть отождествлено в обоих вхождениях в эту формулу по принципам тождества, принятым в этой теории, но оно не может быть отождествлено согласно всем требованиям рассматриваемой теории. Аналогичный пример дает применение ex falso, то есть формулы Ø A É (A É B), которое предполагает, что отождествление A в обоих вхождениях выполнено. При этом возможны ситуации, когда формулы A и Ø A обе доказаны (получены), но это не влечет доказуемости произвольной формулы, поскольку правила всей теории не допускают отождествления A в обоих вхождениях в формулу ex falso, хотя и допускают возможность такого отождествления в других случаях.



Следовательно, с точки зрения ультраинтуиционистских представлений, тот факт, что в теории имеются обе формулы, как A, так и Ø A, еще не означает, что в ней может быть доказана (или уже доказана) формула (A&Ø A)[cxxviii]. В этом случае по вполне понятным основаниям теория не считается противоречивой. И такие ситуации, когда противоречивая формула недостижима, действительно предусматриваются в некоторых вариантах ультраинтуиционистских теорий. Ситуация подобного рода характеризуется в ультраинтуиционизме как “кажущееся противоречие”. Считать кажущиеся противоречия нарушением непротиворечивости или нет — это, с точки зрения автора названной концепции, вопрос соглашения. Но, по-видимому, было бы опрометчиво его решать непременно отрицательно, отвергая теории с кажущимися противоречиями на том основании, на каком отвергаются обычно противоречивые теории в традиционной логике и математике[cxxix].



В контексте сказанного я обращаю особое внимание на роль операции отождествления в ультраинтуиционистской концепции. Многими из нас марковская абстракция отождествления воспринимается как едва ли не эмпирическая операция, применимая к конструктивным объектам различных видов[cxxx]. Между тем это отнюдь не самостоятельная абстракция; это способ образования абстрактных объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости, то есть далеко идущая операция, предполагающая в определенном смысле трансцендентную реальность. Отождествить два объекта в наличной реальности (в наличном опыте) сравнительно легко. Но кто поручится за возможность отождествления в трансцендентной реальности? Этот вопрос в равной мере относится как к неопределенно длинным (фактически неосуществимым) доказательствам той или иной математической теории, так и к тождеству объектов в моделях этих теорий.

Ультраинтуиционистская критика указывает на это обстоятельство, замечая при этом, что если тождество двух объектов (например, двух слов в алфавите), данных воочию, является эмпирическим фактом и не вызывает сомнений, то тождество объектов (формул), участвующих в бесконечном процессе (например, в случае применения в доказательстве бесконечной индукции), является по существу гипотезой и вовсе не очевидно.

Таким образом, полный анализ доказательства требует явного указания на возможность отождествления (или различения) объектов, участвующих в доказательстве. При этом не может быть вопроса об отождествлении объектов пока они не представлены в наглядных шагах доказательства. И это столь же очевидно, как очевидна невозможность постройки дома, если отсутствует необходимый строительный материал.



И еще одно, не менее важное обстоятельство стоит отметить. Конструктивная абстракция отождествления служит способом построения абстрактных понятий. Это ее содержательный гносеологический аспект. Но у этой абстракции есть и формальный аспект, который, собственно, и оправдывает ее применение. Этот формальный аспект выражается в трех свойствах (аксиомах) равенства — рефлексивности, транзитивности и симметрии. Этот формальный аспект (известный со времен Евклида) роднит абстракцию отождествления с классическим(расселовским) принципом абстракции.

Замечательно, что ультраинтуиционистская критика не выставляет этих формальных свойств тождества в качестве обязательных свойств при отождествлениях. Ни транзитивность, ни симметрия, вообще говоря, не предполагаются, хотя потребность в соответствующем анализе не исключается. В частности, когда транзитивность тождества нарушается при попытках отождествления Ав его вхождениях в формулу A &ØA, можно обоснованно говорить, что смысл Аразличный в обоих вхождениях.

Не моя задача выяснять, как это сказывается на ультраинтуиционистской теории доказательств. Для меня важна лишь очевидная в ней тенденция, с одной стороны, — к ослаблению общих логических условий, налагаемых на отождествление объектов, а с другой, — к более жесткому требованию фактических условий на их отождествление. Думается, что при соответствующих разъяснениях ультраинтуиционистская программа вполне совместима с теми установками на практику отождествлений, которые сложились в рамках интервального анализа[cxxxi].

В частности, когда речь идет об отождествлениях объектов в тех или иных вхождениях в доказательство, абстракцию отождествления, которая, вообще говоря, в этом случае не исключается, все же естественно отделять отабстракции неразличимости. Последняя абстракция принята в рамках интервального анализа с целью уточнения понятий отождестве и различии в ситуациях, когда отсутствует априорная информация об индивидуации объектов универсума (предметной области), а процессы их отождествления или различения определяются конечной информацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно это означает зависимость суждений о тождестве и различии от информационных условий познания, в частности — от разрешающей способности актов восприятия, свойственных наблюдателю или какой-либо иной информационной системе. При этом, принимая во внимание неизбежную “энтропию опыта”, тождество по неразличимости является естественным обобщением классической идеи о тождестве неразличимых (принципа тождества неразличимых) на эмпирические условия познания или, по крайней мере, на субъективированные акты отождествлений, чем и оправдывается необходимость введения специального термина “абстракция неразличимости”[cxxxii].

С интервальной позиции претензии на (конструктивную) математику как дисциплину в конечном счете опытную (или теорию ad hominem в позитивном значении этого аргумента), стоящую на экспериментальном фундаменте, выглядят в этом смысле неубедительно. К примеру, эмпирический фактор наблюдаемости (соответственно эмпирический смысл процессов сравнения (измерения) и их результатов) в конструктивной математике принимается лишь формально, поскольку вовсе не учитываются особенности “пороговых свойств” этого фактора. Поэтому если конструктивную позицию еще можно как-то согласовать с абстракциями, принятыми в классической физике, то ее согласование с абстракциями, необходимыми, скажем, в квантовой физике, весьма проблематично[cxxxiii].


Просмотров 309

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!