Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений



1. Как ставится задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка? Что такое точное и приближенное сеточное решения задачи Коши? Что понимается под погрешностью приближенного решения?

2. Получите вычислительную схему Эйлера путём замены производной разностным отношением с помощью формулы численного дифференцирования.

3. Получите вычислительную схему Эйлера путём применения формул численного интегрирования.

4. Найдите оценку погрешности приближенного решения задачи Коши, полученного по схеме Эйлера.

5. Получите схему Рунге-Кутта второго порядка. Запишите общую схему метода Рунге-Кутта и схему четвертого порядка. Как применяется метод повторного счета?

6. Многошаговые методы.

7. Как ставится задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем?

8. Что представляет собой приближенное сеточное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его погрешность? Запишите схемы Эйлера и Рунге-Кутта для систем дифференциальных уравнений. Как оценивается погрешность приближенного решения?

9. Опишите баллистический метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

10. Опишите разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Разностные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных

1. Как аппроксимируются частные производные разностными отношениями?

2. Как аппроксимируются дифференциальные краевые задачи разностными схемами? Что представляют собой приближенное сеточное решение, его погрешность, разностная краевая задача? Приведите примеры (разностные схемы для уравнения теплопроводности).

3. Какие разностные схемы называются явными и неявными? Приведите примеры (разностные схемы для уравнения теплопроводности).

4. Как записываются дифференциальные и разностные краевые задачи в операторной форме? Что такое сетка, сеточная функция, точное и приближенное сеточное решение дифференциальной краевой задачи?



5. Что такое погрешность приближенного сеточного решения дифференциальной краевой задачи? Дайте определение сходимости решения разностной краевой задачи к решению задачи дифференциальной? Что такое порядок сходимости?

6. Что такое невязка и её величина? Что означает аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой? Что такое порядок аппроксимации?

7. Что означает устойчивость разностной схемы? Как выглядит условие устойчивости для линейных разностных схем?

8. Сформулируйте и докажите теорему о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.

9. Что такое шаблон разностной схемы? Как строятся разностные схемы заданного порядка аппроксимации методом неопределенных коэффициентов? Приведите пример.

10. Что значит устойчивость разностной схемы по правой части, начальным данным и граничным условиям? Как связаны разные типы устойчивости?

11. Докажите устойчивость явной разностной схемы для уравнения теплопроводности при соответствующем ограничении на r.

12. Сформулируйте спектральный признак Неймана.

13. Сформулируйте принцип замороженных коэффициентов.

14. Опишите алгоритм решения явной разностной краевой задачи для уравнения теплопроводности.

15. Опишите алгоритм решения неявной разностной краевой задачи для уравнения теплопроводности.

 

Практикческие задания

Теория погрешностей

1. Множество принадлежности . Построить график предельной относительной погрешности произвольного приближенного значения как функции . Подобрать приближенное значение , предельная относительная погрешность которого будет наименьшей.



2.В результате измерения вещественной величины х было получено число 12.34_. Последняя цифра в записи этого числа оказалась замазана. Требуется подобрать приближенное значение величины х с наименьшей предельной абсолютной погрешностью и найти эту погрешность. Записать результат z пользуясь первым правилом верных знаков.

3.Величина z связана с величиной х следующим ниже отношением. Известно, что , , . Найти , , , . Найти предельную абсолютную погрешность .

а). , б). , в). , г). .

4.Величина z связана с величинами х и y следующим ниже отношением. Известно, что . Найти , , , , , . Найти предельную абсолютную погрешность .

а). , б). , в). , г). , д). .

5. Известно приближенное значение и оценка его абсолютной погрешности. Подчеркнуть известные верные цифры в широком и строгом смысле слова в записи одинарной и двойной линией, соответственно.

a). , . б). , .

6.Может ли цифра в записи приближенного значения быть верной в строгом смысле слова и не быть верной в широком смысле?

7.Приближенное значение записано со всеми верными цифрами в строгом смысле слова. С помощью симметричного округления его округлили. В результате получилось новое (округленное) приближенное значение . Какие из цифр в записи будут верными в строгом смысле?

8. Известно приближенное значение и оценка его абсолютной погрешности . Путем отбрасывания последних цифр его надо округлить так, чтобы в его записи оставались только верные цифры в широком смысле и количество цифр было максимально.

9. Известно приближенное значение и оценка его абсолютной погрешности . Путем симметричного округления его надо округлить так, чтобы в его записи оставались только верные цифры в строгом смысле и количество цифр было максимально.



10.В записи приближенных значений , величин x и y все цифры являются верными в широком смысле. Величина . Рассматривается приближенное значение величины z: . Найти , , , , , , , , предельную абсолютную и относительную погрешность и . Подчеркнуть верные значащие цифры в широком смысле в записи . Записать этот результат, пользуясь первым правилом верных знаков.

11.В записи приближенных значений , величин x и y все цифры являются верными в широком смысле. Другое приближенное значение получено путем округления . Величина . Рассматриваются два приближенных значения величины z: и . Найти , , , , , , , , предельные абсолютные погрешности , . Подчеркнуть верные цифры в широком смысле в записи и , записать оба этих результата, пользуясь первым правилом верных знаков.

12.В записи приближенных значений , величин x и y все цифры являются верными в широком смысле. Другое приближенное значение получено путем округления . Величина . Рассматриваются два приближенных значения величины z: и . Найти , , , , , , , , предельные абсолютные погрешности , . Подчеркнуть верные цифры в широком смысле в записи и , записать оба этих результата, пользуясь первым правилом верных знаков.

13.Числа а и b представлены в ЭВМ в форме с плавающей запятой: и (см. пример 6 из задачника). При их сложении в ЭВМ получается приближенный результат . Найдите оценки абсолютной и относительной погрешности этого результата для случая, когда , , а значение суммы находится в пределах допустимого диапазона.

14. Величина z связана с величинами x и y следующим ниже отношением . Заданы приближенные значения этих величин , и оценки их абсолютных погрешностей , . Приближенное значение . Подобрать подходящие линейные оценки (1.5.1) – (1.5.5) для вычисления погрешностей промежуточных и окончательного результата для следующих случаев :

а). б). в). г).

д). е). ж). з).

15.Ниже дана формула, а также приближенные значения аргументов (аргумента), оценки их абсолютных погрешностей и приближенное значение результата. Можно ли для вычисления оценки погрешности результата использовать одну из линейных оценок (1.5.3) - (1.5.5)? Почему?

а). , , , .б). , , , . в). , , , 1. г). , , , . д). , , , . е). , , , , , .

16.Дана формула. Задано приближенное значение аргумента, оценка его абсолютной погрешности и приближенное значение результата. Найти предельную абсолютную погрешность выбранного приближенного значения результата. Окончательный результат записать, пользуясь первым правилом верных знаков.

а). . б). .

в). .

17.Дана формула. Заданы приближенные значения аргументов, оценки их абсолютных погрешностей и приближенное значение результата. Найти предельную абсолютную погрешность выбранного приближенного значения. Окончательный результат записать, пользуясь первым правилом верных знаков.

а). .

б). .

в). .

д). .

18. Функция двух переменных задана формулой . Заданы приближенные значения аргументов функции , и оценки их абсолютных погрешностей , . Приближенное значение . Записать линейную оценку абсолютной погрешности этого приближенного значения (1.6.7), для следующих случаев :

а). б). в). г).

д). е). ж). з).

19. Получить формулы (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3), (1.5.4) с помощью формулы (1.6.7).

20. Функция нескольких переменных задана формулой. Заданы приближенные значения аргументов, оценки их абсолютных погрешностей и приближенное значение функции. Используя линейную оценку (1.6.7), оценить абсолютную погрешность приближенного значения функции.

а). .

б). .

в).

г).

д). .

е). .

21. Функция двух переменных задана формулой . Заданы границы аргументов , , , . Используя метод границ (пооперационное вычисление границ) требуется найти , .для следующих случаев :

а). б). в). г).

д). е). ж). з).

22. Задана формула. Известны границы значений аргументов . Требуется найти границы результата , .

а). , .

б). , .

в). , .

23. Задана формула и известны приближенные значения аргументов , в записи которых все цифры являются верными в широком смысле слова. Используя обобщенный метод границ (учитывая монотонное изменение функции по каждому из аргументов), записать в общем виде формулы для вычисления границ результата z (производить вычисления по этим формулам не нужно).

а). , .

б). , .

в). , .

24. С помощью правила верных знаков произвести вычисления:

а). б). в).

г). д). .

 

25. Получены результаты пяти независимых измерений числовой величины x. Систематическая составляющая в погрешности измерений отсутствует, а результат измерения представляет собой значение случайной величины с нормальным законом распределения. В качестве приближенного значения величины x выбирается среднее значение результатов измерений . Требуется в общем виде записать формулу для определения предельной абсолютной погрешности его с вероятностью 0.95.

26.Получены результаты пяти независимых измерений числовой величины x. Результат измерения представляет собой значение случайной величины с нормальным законом распределения. Систематическая составляющая в погрешности измерений присутствует, то есть . В качестве приближенного значения величины x выбирается среднее значение результатов измерений . Требуется в общем виде записать формулу для определения предельной абсолютной погрешности его с вероятностью 0.9.

27.На множестве непрерывных на функций введена функция . Доказать, что для этой функции выполняются все аксиомы скалярного произведения. Как можно ввести норму и метрику в евклидовом пространстве с описанным скалярным произведением?

28.На множестве непрерывных на функций введена функция . Доказать, что для этой функции выполняются все аксиомы нормы. Как можно ввести метрику в нормированном пространстве с описанной нормой?

29.В линейном пространстве векторов с n вещественными компонентами введена функция . Доказать, что для этой функции выполняются все аксиомы нормы. Как можно ввести метрику в нормированном пространстве с описанной нормой?

а). .б). . в). .

 

30.В линейном пространстве векторов с n вещественными компонентами введена функция . Доказать, что для этой функции выполняются все аксиомы нормы. Как можно ввести метрику в нормированном пространстве с описанной нормой?

31. Задана последовательность векторов . Найти предел этой последовательности .

а). , .б). , . в). , .

32. В линейном пространстве векторов с тремя вещественными компонентами можно ввести две разные нормы: , . Таким образом, образованы два линейных нормированных векторных пространства с этими нормами. Известно приближенное значение векторной величины . Значения компонент приближенного значения записаны со всеми верными знаками в широком смысле слова. Найти оценку абсолютной и относительной погрешности в этих нормированных пространствах.

а). =-3.711, =12.42, =0.3.б). =-0.003, =3.2, =-6.51.в). =--13.1, =4.2, =0.024.

33. На множестве непрерывных на функций можно ввести две нормы: , . Таким образом, можно образовать два линейных нормированных пространства с этими нормами. Функция выбрана в качестве приближения для функции . Найти абсолютную и относительную погрешности приближения в этих пространствах.

а). = , = .б). = , = .в). = , = .

34. В линейном пространстве векторов с двумямя вещественными компонентами можно ввести норму: . Таким образом, образeуется линейное нормированное векторное пространство. Задана последовательность векторов , где , . Найти предел этой последовательности . В качестве приближений для вектора выбираются . Подобрать номер такой, чтобы приближение имело абсолютную погрешность, не превышающую 0.01 в этом пространстве.

а). , .б). , .в). , .

35. На множестве вещественных чисел R введена метрика . В полученном таким образом метрическом пространстве введено отображение . Доказать, что пространство является полным, а отображение является сжимающим в нем и найти коэффициент сжатия . Доказать существование и единственность неподвижной точки этого отображения . Как получается последовательность приближений для этой неподвижной точки? Как оцениваются абсолютные погрешности этих приближений?

а). = .б). = .в). = .


Просмотров 628

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!