Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Вычисление определенных интегралов численными методами



Определенный интеграл от непрерывной функции f (х) ³ 0 в пределах от а до b представляет площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой f(x), осью абсцисс и прямыми х = а, х = b (рисунок 18). Из курса высшей математики известно, что

где F (x) – первообразная для f (х) на отрезке [а, b], т. е.. F¢ (x) = f (х) на отрезке [a, b]. Если f (х) <0 на отрезке [a, b], то в формуле S < 0, но çSçравно площади криволинейной трапеции, находящейся под осью абсцисс.

 

y

y = f (x)

S

0a bx

S
Рисунок 18 Определённый интеграл – площадь криволинейной трапеции

 

Однако на практике приведённой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1) вид функции f (x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2) значения функции f (x) заданы только на фиксированном конечном множестве точек xi, т. е. функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами нулевой = с), первой
(у = сх + d) или второй = сx2 + dх + k) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, называются соответственно методами прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

Пусть требуется приближенно вычислить значение интеграла В методе прямоугольников (рисунок 19) криволинейная трапеция разбивается на п частей, каждая из которых представляет собой прямоугольник, основание которого равно шагу интегрирования , а длины сторон соответственно Y0 = f (x0), Y1 = f (x1), Yn = f (xn), где x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b – точки деления отрезка [a, b] на n равных частей.

Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от месторасположения начальной точки x0 при вычислении площади элементарного прямоугольника. При этом если за высоту каждого прямоугольника принимается левая ордината (y0, y1, y2…), то вычисление интеграла будет производиться по методу левых прямоугольников; если правая ордината (y1, y2, y3…), то по методу правых прямоугольников; если за высоту принимается середина интервала h, то будет применяться метод средних прямоугольников. Основанием всех прямоугольников будет являться величина шага интегрирования h.



у Уn¢ Уn
    Sn         h
Уn-1

У = f(x)

У'2

У1 У2

У1¢

У0

 

S1 S2

 

 

h h

0 X0 = а X1 X2 Xn-1 Xn = b х

 

Рисунок 19 К выводу формул вычисления определённых интегралов
методами прямоугольников

 

Тогда при методе левых прямоугольников

,

при методе правых

 

,

при методе средних

.

Как видно из рисунка 19 первоначальное значение при методе левых прямоугольников , правых – , средних . Последующие значения будут получаться через операцию присваивание = + h, а элементарные площади S1, S2,… Sn будут вычисляться по формуле . Сумма этих площадей дает значение интеграла. Изложенное выше реализует алгоритм (рисунок 20), где - значения элементарных площадей, а их сумма S – значение интеграла.

 

 

 
 

 


 

 

 

 

5 8

 

 

6 9

 



 

 

Рисунок 20 Схема алгоритма вычисления интеграла методом прямоугольников

 

Более точное значение интеграла получается при вычислении его методом трапеций, когда ординаты (y0, y1, y2yn) подынтегральной функции соединяют отрезками прямых и искомую площадь заменяют суммой площадей трапеций, высотой которых является шаг h, а основаниями и для S1, и для S2 (рисунок 19).

Тогда

,

где , а y0, y1, y2 yn равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , …, то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 21. В приведенном алгоритме блок 5 вычисляет значение элементарных площадей S1, S2,…Sn, в блоке 6 осуществляется их суммирование и блоком 7 изменяется на величину шага h.

 

1                   Рисунок 21 Схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций

Программа вычисления методом трапеций, согласно приведённому алгоритму имеет вид.

 


Просмотров 415

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!