Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Формула Стокса. Поток поля ротора через замкнутую поверхность



Вернемся теперь к формуле (4.24), выражающей циркуляцию векторного поля по границе ориентированной поверхности . Сравнивая ее правую часть с правой частью формулы (5.3), приходим к равенству . Таким образом, формула, выражающая циркуляцию векторного поля по границе ориентированной поверхности , принимает вид

. (6.7)

Равенство (6.7) носит название формулы Стокса и выражает тот факт, что циркуляция векторного поля по границе ориентированной поверхности равна потоку ротора этого поля через саму ориентированную поверхность.

Выше, в §4, определяя ротор векторного поля как ротор матрицы его производной в рассматриваемом базисе, было сказано, что это понятие не зависит от выбора базиса, а определяется самим векторным полем. Теперь мы имеем возможность обосновать данное утверждение. Рассмотрим в области пространства, где определено векторное поле , некоторую точку и пусть - единичный вектор, исходящий из этой точки. Проведем через точку плоскость, перпендикулярную вектору , и рассмотрим на ней какую-либо фигуру , содержащую внутри себя точку . Будем считать плоскую поверхность ориентированной посредством выбора в каждой точке вектора нормали равного вектору . Обозначим через границу поверхности , направление обхода по которой согласовано с выбранной ориентацией этой поверхности (см. рис 6).

Согласно формуле Стокса (6.7), имеет место равенство

.

Применяя к интегралу в правой части этого равенства теорему о среднем, получим

, (6.8)

где - некоторая точка поверхности . Деля обе части равенства (6.8) на площадь и переходя к пределу, когда поверхность стягивается в точку , приходим к формуле

. (6.9)

Очевидно, правая часть формулы (6.9) есть величина, определяемая самим векторным полем , точкой , вблизи которой оно рассматривается, а также направлением вектора и никак не связана с выбором какой-либо системы координат. Эта величина называется завихренностью векторного поля в точке вокруг направления вектора . Как следует из формулы, (6.9) вектор имеет направление, вокруг которого завихренность векторного поля в точке оказывается наибольшей, а длина вектора - есть численное значение этой наибольшей завихренности.



Пусть теперь - произвольная область в пространстве , ограниченная кусочно-гладкой поверхностью , наделенной естественной ориентацией, а - векторное поле, определенное и дифференцируемое в области . Поставим задачу вычислить поток .

Разобьем поверхность на две части и , используя для этого некоторую замкнутую линию разреза . Очевидно, линия разреза будет являться границей как для поверхности , так и для поверхности . Будем рассматривать как путь, направление обхода по которому согласовано с ориентацией поверхности . Тогда - есть путь, направление обхода по которому согласовано с ориентацией поверхности .

Применяя формулу Стокса для каждой из поверхностей и , получаем

,

.

Складывая эти равенства, согласно свойству аддитивности поверхностного интеграла получаем

. (6.10)

Равенство (6.10) означает, что поток ротора любого векторного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

 


Просмотров 823

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!