Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Поток векторного поля через ориентированную поверхность



 

Рассмотрим, как и выше, векторное поле , определенное и непрерывное в некоторой области пространства и пусть - некоторая ориентированная поверхность, лежащая в области .

Представим себе область заполненной частицами жидкости (или газа), совершающими движение, при котором скорость частицы, находящейся в точке равна . Траектория движения каждой частицы представляет собой путь (называемый линией тока), касающийся векторного поля в каждой своей точке. Рассмотрим те линии тока частиц жидкости, которые пересекают поверхность . Их можно разделить на две части в зависимости от того острый или тупой угол образует направление движения по этим линиям с направлением нормали к поверхности в точке пересечения с поверхностью. Обозначим через (или ) - объем, заполняемый частицами, протекающими через поверхность за единицу времени в направлении, образующем острый (или соответственно тупой) угол с нормалью к этой поверхности. Поток векторного поля через поверхность определяется как разность объемов и , т.е. . По своему смыслу это есть баланс количеств жидкости протекающих через поверхность за единицу времени в направлениях, образующих острый и тупой угол с направлением нормали к этой поверхности. Поставим задачу вычислить поток .

Рассмотрим сначала частный случай, когда векторное поле постоянно , а ориентированная поверхность плоская. Тогда вектор нормали к поверхности , определенный в точке , один и тот же для всех точек . Объем жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени равен объему косого цилиндра, в основании которого находится поверхность , а образующая боковой поверхности равна вектору скорости частиц жидкости, то есть вектору (см. рис.4).

Как известно, объем косого цилиндра равен объему прямого цилиндра с тем же основанием, высота которого вычисляется по формуле , где - угол между векторами и . Поэтому, если угол острый, то , , в противном случае , . Очевидно, и в том и в другом случае справедливо равенство



, (5.1)

где, как и выше, - вектор площади поверхности .

Рассмотрим теперь общий случай. Обозначим, как и выше, через вектор нормали к поверхности , определенный в точке согласно ориентации этой поверхности. Разобьем поверхность на достаточно большое число малых частей посредством разбиения и выберем на каждой из частей точку . Положим . Как мы помним, называется рангом разбиения . Обозначим через поток векторного поля через поверхность . Тогда, очевидно, справедливо равенство . Для вычисления потока мы можем предполагать поверхность сколь угодно малой по размерам. Тогда ее можно рассматривать как плоскую, полагая при этом , а вектор поля - как постоянный ( ) в пределах указанной поверхности. Используя формулу (5.1), выражающую поток постоянного векторного поля через плоскую ориентированную поверхность, можно считать, что справедливо приближенное равенство

.

Суммируя по всем частичным поверхностям, приходим к приближенному равенству

,

погрешность которого будет сколь угодно малой при достаточно малом ранге разбиения . Следовательно, для того чтобы получить точное равенство необходимо продолжить процесс дробления поверхности на все более мелкие части и перейти к пределу когда . В итоге поток векторного поля через ориентированную поверхность выразится формулой

. (5.2)

Выражение, стоящее в правой части равенства (5.2) представляет собой предел интегральной суммы и имеет специальное обозначение в виде интеграла по поверхности .



. (5.3)

С учетом обозначения (5.3) формула (5.2) принимает вид

. (5.4)

Таким образом, поток векторного поля через поверхность представляется поверхностным интегралом в векторном поле по поверхности .

 


Просмотров 540

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!