Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Потенциальные векторные поля



 

Пусть - непрерывное векторное поле, определенное в некоторой области пространства . Говорят, что векторное поле потенциально в рассматриваемой области, если существует скалярное поле , градиент которого равен . Таким образом, сказанное означает, что

, . (3.5)

Скалярное поле , для которого справедливо равенство (3.5) называется потенциалом векторного поля .

Пусть в пространстве задана декартова система координат . Тогда, проецируя (3.5) на координатные оси, приходим к равенствам:

, , . (3.6)

Если координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы, то, дифференцируя равенства (3.6) по подходящим переменным и пользуясь теоремой о смешанных производных, легко получить следующие, необходимые условия потенциальности векторного поля:

, , . (3.7)

Вспомнив формулу (2.13), выражающую матрицу производной векторного поля в декартовых координатах, можно сделать вывод, что необходимым условием потенциальности дифференцируемого векторного поля является симметричность его матрицы производной.

Пусть векторное поле потенциально в области , - его потенциал (так что ), а - некоторый гладкий (или кусочно-гладкий) путь, лежащий в области , имеющий параметрическое уравнение , .

Вычислим интеграл . Применяя формулу (3.4) и учитывая, что , получим

.

Согласно формуле (1.19),

.

Следовательно, справедливо равенство

. (3.8)

Равенство (3.8) показывает, что линейный интеграл в потенциальном векторном поле не зависит от формы пути, а зависит лишь от его начала и конца и равен разности потенциалов в конце и начале пути.

Оказывается, что свойство интеграла в векторном поле не зависеть от формы пути является не только необходимым, но и достаточным условиям потенциальности этого векторного поля. Другими словами, справедлива следующая

Теорема 3.1. Векторное поле , потенциально тогда и только тогда, когда линейный интеграл в этом поле не зависит от формы пути.

Докажем, что условие независимости линейного интеграла в векторном поле от формы пути является достаточным для его потенциальности. Необходимость этого условия выражается равенством (3.8). Пусть - некоторая фиксированная точка в области . Возьмем произвольную точку и рассмотрим какой-нибудь путь , соединяющий точку с точкой и целиком лежащий в области . Такой путь существует, поскольку область по определению является линейно связным множеством. По условию линейный интеграл в векторном поле не зависит от формы пути, значит, при фиксированном начале линейный интеграл в поле по пути будет зависеть лишь от конечной точки . Положим



.

Покажем, что скалярное поле дифференцируемо, причем его приращение в точке представимо в виде

, (3.9)

где . Согласно определению градиента, это будет означать, что справедливо равенство , т.е. векторное поле потенциально. Используя определение скалярного поля , а также свойство аддитивности линейного интеграла, получим

. (3.10)

Пусть путь, соединяющий точки и , есть отрезок . Этот отрезок может быть задан параметрическим уравнением: , . Применяя формулу (3.4) сведения линейного интеграла к определенному, получим

. (3.11)

Поскольку, по условию, векторное поле непрерывно, справедливо равенство

, (3.12)

где . С учетом равенства (3.12) правая часть формулы (3.11) принимает вид

. (3.13)

Вычисляя первое слагаемое в правой части (3.13), получим . Что же касается второго слагаемого, то, применяя к нему теорему о среднем, получим , где - угол между векторами и , а - некоторая точка из интервала (0,1), положение которой при фиксированной определяется вектором . Положим . Тогда, очевидно, . С учетом сказанного равенство (3.11) принимает вид



. (3.14)

Подставляя (3.14) в (3.10) приходим к равенству вида (3.9) откуда, как уже говорилось, следует что , т.е. что векторное поле потенциально.

 

Циркуляция векторного поля

 

Пусть, как и выше, - векторное поле, определенное и непрерывное в некоторой области пространства , а - замкнутый путь (т.е. путь, у которого начало совпадает с концом). Линейный интеграл в векторном поле по пути называется циркуляцией векторного поляпо этому пути и записывается так .

Пусть векторное поле потенциально, а - его потенциал. Тогда, как мы знаем, для любого пути справедливо равенство

, (4.1)

где - начальная, а - конечная точки пути . Если путь замкнутый, то начальная и конечная его точки совпадают, следовательно, равенство (4.1) представляется в виде . Таким образом, циркуляция потенциального векторного поля по любому замкнутому пути равна нулю.

Обратно, пусть в векторном поле для любого замкнутого пути справедливо равенство . Рассмотрим два пути и , имеющие одинаковые начала и концы. Обозначим, как и выше, через путь, противоположный пути . Тогда конец пути совпадает с началом пути , так что существует путь, являющийся объединением путей и . Положим . Очевидно, - замкнутый путь так что, согласно нашему предположению, справедливо равенство . С другой стороны, по свойствам аддитивности и антисимметричности линейного интеграла, справедливы равенства:

.

Следовательно, . Тем самым, линейный интеграл в векторном поле не зависит от формы пути так что, согласно теореме 3.1 это векторное поле потенциально.



Проведенные рассуждения показывают, что справедлива следующая

Теорема 4.1. Векторное поле потенциально тогда и только тогда, когда его циркуляция по любому замкнутому пути равна нулю.

 


Просмотров 720

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!