Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Дифференцируемые векторные поля



 

Говорят, что в некоторой области пространства задано векторное поле, если по какому-либо правилу каждой точке поставлен в соответствие вектор .

Примером векторных полей могут служить векторы скоростей частиц в потоке жидкости или газа, вычисляемые в некоторый момент времени. Другими примерами векторных полей являются силовые векторные поля. К ним, в частности, относятся векторы сил, действующих на материальную или заряженную частицу, помещенную в ту или иную точку, где имеется гравитационное или электрическое поле.

Для векторных также как и для скалярных полей определены понятия предела и непрерывности.

Вектор называется пределом векторного поля в точке , предельной для множества (V), если справедливо следующее утверждение

.

В этом случае пишут .

Векторное поле называется непрерывным в точке если его предел в этой точке существует и равен значению, т.е. . Согласно определению предела это означает, что справедливо утверждение

.

Пусть ; тогда для достаточно малого по модулю вектора существует векторная величина

,

называемая приращением векторного поля в точке . Приращение векторного поля, очевидно, зависит от вектора . Векторная величина, аргументом которой также является вектор, называется оператором. Следовательно, приращение векторного поля представляет собой оператор, заданный на множестве допустимых сдвигов , т.е. сдвигов, при которых .

Среди всех операторов, действующих из одного векторного пространства в другое, особую роль играют линейные операторы. Они отличаются тем, что переводят любую линейную комбинацию векторов в ту же линейную комбинацию их образов. Пусть - линейный оператор, действующий в пространстве . Тогда для любого числа и пары векторов справедливы равенства:

, .

Векторное поле называется дифференцируемым в точке , если его приращение в этой точке изменяется по закону, близкому к линейному. Это значит, что существует линейный оператор и векторная величина , зависящая от , такие, что и справедливо равенство



. (3.1)

Пусть - некоторый ортонормированный базис в пространстве ; тогда каждый вектор допускает разложение . Ставя в соответствие вектору набор его координат , мы можем отождествить евклидово пространство с арифметическим пространством . Если - линейное отображение, для которого , то ему соответствует линейное отображение пространства в себя, представимое в виде матрицы размера , для которой

.

Столбцы матрицы , представляющей отображение в пространстве , являются наборами координат векторов и соответственно в базисе . Это значит, что справедливо равенство

, , (3.2)

где - -тый столбец матрицы . Столбец координат образа вектора представляет результат умножения матрицы на столбец координат вектора . Таким образом, если векторы и представлять столбцами их координат в заданном базисе, то справедливо равенство .

С учетом сказанного выше, условие дифференцируемости векторного поля, выражаемое равенством (3.1), может быть записано так

, (3.3)

где - некоторая матрица размера , а .

Следуя аналогии с одномерным случаем, где условие дифференцируемости выражается равенством (2.3), назовем матрицу производной векторного поля в точке , при этом будем использовать обозначения . Тогда, аналогично тому, как это было сделано для скалярных полей, равенство (3.3) может быть переписано в виде

. (3.4)

Пусть в пространстве задана кривая , все точки которой принадлежат множеству , где определено векторное поле . Тогда в точках кривой векторное поле представляет собой сложную вектор-функцию переменного



.

Покажем, что, если векторное поле дифференцируемо в точках кривой, а сама кривая гладкая, то эта вектор-функция дифференцируема. Действительно, пусть , положим ; тогда . По определению производной

.

Поскольку векторное поле дифференцируемо в точке , его приращение в этой точке представляется в виде (3.4). Поэтому

.

Последнее равенство справедливо поскольку, во-первых, в силу непрерывности линейного отображения, справедливо равенство

и, во-вторых, согласно определению, .

Полученное равенство, выражающее производную векторного поля по параметру, можно записать так

. (3.5)

Это значит, что, также как и в случае скалярных полей, формула дифференцирования векторного поля по параметру аналогична формуле дифференцирования сложной функции.

 


Просмотров 1117

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!