Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Координаты вектора относительно любого базиса определяются единственным способом



Доказательство. Пусть для некоторого вектора наряду с разложением

существует еще и другое разложение по тому же базису

Тогда , почленно вычитая два равенства, получаем

Базисные векторы линейно независимы, поэтому а тогда разложение по базису вектора единственно.

Основное значение базиса – операции над векторами, определенные абстрактно, становятся операциями над числами (координатами).

Теорема 2 (Действия над векторами в координатной форме)

При сложении векторов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются, при умножении на число - умножаются на это число.

Доказательство. Пусть некоторый базис линейного пространства,

Тогда

Размерность линейного пространства. Связь между числом векторов в базисе линейного пространства и его размерностью

Размерность линейного пространства

Если в линейном пространстве есть линейно независимых векторов, а любые – линейно зависимы, то называется размерностью линейного пространства. Обозначение

Другими словами, размерность пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов в линейном пространстве.

Линейное пространство, в котором существует сколь угодно большое число линейно независимых векторов , называется бесконечномерным.

Теорема 3.

В мерном линейном пространстве существует базис из векторов. Любая совокупность из линейно независимых векторов является базисом линейного пространства.

Теорема 4.

Если в линейном пространстве существует базис, состоящий из векторов, то размерность линейного пространства равна - числу базисных векторов.

 

 

Скалярное произведение векторов. Свойства. Доказательство одного свойства.

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Свойства скалярного произведения

1. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов – скалярное произведение векторов равно 0:



2.

так как

3.

4.

так как

5.

так как

Следствие. Свойства 3 и 4 могут быть записаны в виде формул

Будем говорить, что последние формулы отражают свойство линейности скалярного произведения соответственно относительного первого и второго сомножителей.

6. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора

Действительно,

7. , причем если

8. Если то

Доказательство.

так как

 

9.

10. .

 

 

Векторное произведение векторов. Свойства. Доказательство одного свойства.

Определение векторного произведения

Векторным произведением векторов называется вектор , удовлетворяющий условиям

1) где угол между векторами

2)

3) образуют правую тройку.

При этом пишут или Если векторы неколлинеарны, то вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости, определяемой векторами приведенными к общему началу (рис. 1).

Рис. 2


Просмотров 747

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!