Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная



Общий множитель элементов любой строки определителя можно вынести множителем за знак определителя

 

 

3. Если элементы какой-либо строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых в указанной строке у первого стоят первые слагаемые, у второго – вторые слагаемые, а все остальные строки, как у исходного определителя

Следствие. Свойство 3 справедливо в случае любого конечного числа слагаемых.

4. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

 

 

5.Если в определителе поменять местами любые две строки, то определитель сменит знак.

6.Если в определителе две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

 

7.Если в определителе элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

 

 

8.Если к элементам одной строки определителя прибавить числа, пропорциональные элементам другой строки определителя, то определитель не изменится.

 

 

9.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей .

 

Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы (с доказательством).

Пусть - квадратная матрица - го порядка. Матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Матрица называется обратной матрицей матрице , если .

Теорема 1(о существовании обратной матрицы)

Для того, чтобы для матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть - обратная матрица. Покажем, что - невырожденная. Действительно, по определению обратной матрицы . Следовательно, и по свойству 9 определителей . Тогда .

Достаточность.

Пусть . Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы и составим из них матрицу

которая называется союзной матрице . Вычислим произведение :



Используя свойства определителей 11 и 12, получаем , следовательно, и . Аналогично можно показать, что . Таким образом, матрица

является обратной матрице .

Теорема о единственности обратной матрицы (с доказательством).

Теорема 2 (о единственности обратной матрицы)

Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная.

Доказательство. Предположим, что для некоторой невырожденной матрицы существует по крайней мере две обратные – матрицы и . Тогда по определению обратной матрицы и . Умножим обе части равенства на матрицу слева, а обе части равенства на матрицу справа. Получим и . По свойствам умножения матриц и , поэтому , что противоречит тому, что матрицы и различны. Следовательно, предположение о существовании матрицы, для которой существует две обратные, не верно, и для каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная.

В силу единственности обратной матрицы ее принято обозначать . Таким образом, по определению , а из теоремы 1 вытекает формула для нахождения обратной матрицы

.

Пример 1

Найти обратную матрицу для матриц 1) ; 2) .


Просмотров 6311

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!