Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Матрицаның меншікті мәнін және векторын табу әдістері



Меншікті мән және меншікті векторды табу үшін итерация әдісі. Меншікті мән және меншікті векторлардың жеке мәселелері шешу үшін практикада жиі итерация әдісін (дәрежелік әдіс) қолданады. Оның негізгі А матрицасының жуықтап меншікті Әнін және спектралды радіус ρ(А)=max|λі(А)|-анықтау мүмкін. А матрицасының п сызықты байланысты емес хі, і=1,п меншікті векторлары бар болсын және А матрицасының меншікті мәндері үшін төмендегі қатнас орынды болсын [13].

 

ρ(А)=|λ1(А)|> |λ2(А)|≥...≥ |λп(А)|

 

Меншікті вектордың бастапқы кез-келген х1(0) жуықтауын алайық. Мұнда брінші индекс меншікті мән нөмірі, екінші жақшадағы индекс мұны және кейінде жақындасу нөмірін көрсетеді.

к=0 мәнін меншіктейміз

х1(1) =АХ(0), λ1(1) = мұнда і =1, п к =1 мәнін

Х1(к+1) =АХ1(к) есептеу

 

Табу керек λ1(1) = , мұнда хі1(к+1), хі1(к) мәндері сәйкес Х1(к+1), х1(к) векторларының і-ші координаталары. Мұнда кез-келген і =1,п; і-нөмерлі координата пайдалануы мүмкін. Егер ∆=|λ1(к+1)-λ1(к)|≤ε болса есептеу процессі аяқталсын λ≡λ1(к+1) меншіктелсін. Егер ∆>ε болса к=к+1 меншіктеп 3 пунтке өту. Ескертулер. Кетпе-кет жақындасу процесі

Х1(1) =АХ1(10), Х1(2) =АХ1(1) =А2Х1(0),...,Х1(к) =АХ1(к-1) =А*Ак-1Х1(0) =АкХ1(0),...,

 

жақындасады яғни к→∞ векто Х1(к) анық мән Х1 ұмтылады. Х1(0) векторын барлық меншікті векторлары бойынша жайсақ:

 

Х1(0) =

 

(4) формула бойынша АХі =λіХі, онда АХ1(0) =Х1(1) = ;

 

АХ1(1) =А2Х1(0) =Х1(2) = ,...,

АкХ1(0) =Х1(к) = =λік



 

К-ның үлкен мәндерінде бөлшек мәндері кіші сол үшін АкХ1(0) =С1λ1кХ1, яғни к→∞ Х1(п)→Х1 ұмтылады болады. Шешу методикасының 4 пунктінде λ1(к+1) табу үшін қолданатын формулада сәйкес координаталарға сәйкес жақындасу координаталарының арифметикалық орталарымен ауыстыруы мүмкін.

Егер А матрицасының модуль бойынша үлкен меншікті мәні есені болса, бұл жағдайда да әдісті қолдану мүмкін яғни

 

Λ1=λ2=λ3=...=λs, |λ1|>|λк|, k>s

 

х1(0) бастапқы жақындасуды сәтсіз таңдағанда хі1(к+1)/хі1(к) қатнасының шегі болмауы мүмкін. Бұл жағдайда басқа бастапқы жақындасу таңдалады.

λ1 үшін қарастырылған С = λ2/ λ1 параметрі итерациялық процесс сызықты жақындасады және өте жай болуы мүмкін. Оның тездігін асыру үшін Эйткен алгоритмін қолданылады.

Егер А =Ат (А-матрица Паскальмметриялы) болса, онда жақындасу процесі ρ(а) анықтамасында жылдамдату мүмкін.

λ1-ді пайдаланып, кейінгі λ2 мәнін төмендегі формуламен табу керек.

 

λ2 = , (і =1,2,...,п)



 

Бұл формула λ2 үшін грубые мән береді себебі λ1-дің өзі жуық мән. Егер барлық меншікті мәндердің модульдері әртүрлі болса, онда соңғы формула көмегінде қалған λj(j=3,4,…, n)-лерді есептеу мүмкін.

Итерацияның белгілі бір қадамдарынан кейін алынған меншікті вектордың өсіп кеткен компоненттері нормалдау рекемендуется. Бұл векторды нормалдаумн орындалады.

мысал

 

А = матрицасы үшін спектралды радусы рәжелі әдіспен ε =0,1 анықтықпен табылсын. 1. Меншікті вектордың бастапқы жуықтауы х(0) =(1;1;1)т таңдалады.

к =0 мәні меншіктеледі.

2. табамыз

х1(1) =АХ1(0) =

 

λ1(1) = к =1 меншіктейміз.

Есептейміз.

 

Х1(2) =АХ1(1) =

 

табамыз.

 

5.│λ 1(2)-λ1(1)│ =0,75>ε шар орындалмады онда процессті жалғастыру керек. есептеу нәтижелерін 1-кестеде көрсетеміз.

 

1-кесте

Теңдеу шешімі

 

К Х11(к) Х21(к) Х31(к) Х41(к) │λ1(к)-λ1(к-1)│
- -
-
7,25 0,75
7,034 0,116
6,9559 0,078<ε
               

 

λ1(к) бойынша анықтыққа төртінші итерацияда жетті. Осылайша λ1 үшін жуықтау мәніне 6,9559, ал мекшікті вектор үшін х1 =(2838, 1682, 1888) алынады. Меншікті вектор көбейткіш анықтығымен анықталады. Сол үшін х1-ді нормалдаған тиімді, яғни оның барлық компоненталары норма шамасына бөлу керек. Қарастырылған мысал үшін

 

х1 =

Ескертулерден λ1 меншікті мәні үшін

 

және ; тағы да

 

олардың арифметикалық орталарын.

4-мысал

матрицасының модуль макПаскальмал меншікті мәні және оған сәйкес меншікті векторы табылсын (Кесте 2).

1. Бастапқы жуықтау үшін х(0)=(1;1;1)т мәнін аламыз және ε=0,0001.

 

Кесте 2

Есептеуді методика бойынша орындаймыз

 

К Х11(к) Х21(к) Х31(к) Х41(к) │λ1(к)-λ1(к-1)│
-1 - -
-4 -
-13 3,25 0,75
-40 3,0769 0,1707
-121 3,025 0,0519
-364 3,00826 0,01673
-1093 3,002747 0,005512
-3280 3,000914 0,00183
-9841 3,000304 0,000609
-29524 3,000101 0,000202
-88573 3,000034 0,000067
             

 

Нәтижеде λ1≡3,00003 меншікті мәні және меншікті вектор Х1=(88573; -88573; 1)т алынды. Формалаудан кейін

Х1= =(1; -1; 0,0000113)т 2-мысалмен

салыстырылсын. Крылов әдісі. Бұл әдіс Гамильтон-Кели теоремасына негізделген. Теорема тұжырымы бойынша әрбір квадрат матрица, өзінің характеристикалық теңдеуін қанағаттандырады, яғни егер [14]

өрнегі А матрицасының характеристикалық теңдеуі болса, онда

(1)

болады, мұнда -көпмүшелік коэффиценттері. Бұл коэффиценттерді анықтау төмендегіше орындалады. Айталық -кез келген нолге тең емес баған вектор болсын. (1) теңдеуді екі бөлігінде оң жағын векторына көбейтеміз.

(2)

Бұл теңдеуде

(3)

белгілеулерін енгізіп (2) теңдеуді

(4)

(3) жүйені шешіп коэффиценттерді табамыз.

1-мысал. Берілген

Матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттері Крылов әдісімен табылсын. Шешуі. Бастапқы вектор үшін

 

 

баған векторын аламыз. Бұдан кейін (3) қатынастар көмегінде векторларының координаталарын есептейміз.

 

 

 

Енді (4) көріністегі теңдеулер жүйесін жазып аламыз.

 

 

Бұл теңдеулер жүйесін шешіп мәндерін табамыз. бұдан А матрицасының характеристикалық теңдеуі

 

 

көріністе болатынын табамыз. n-ші ретті А матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттерін Лаверье әдісімен табу үшін, дәрежелі матрицаларды табу керек. Характеристикалық көпмүшеліктің сәйкес коэффиценттері Ньютон теңдеулерінің көмегінде табылады [15].

 

(1)

Мұнда матрицаларының іздері яғни болады. Мұнда матрицасының диоганал элементтері.

Леверье әдісімен көпмүшелік коэффиценттерін есептеуде бөлу амалы қолданбайды. Сол үшін матрица элементі кез-келген сен болуы мүмкін, соның ішінде ноль санды болуы мүмкін.

Мысал-1. Берілген

 

 

Матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттері Лаверье әдісімен табылсын.

Шешуі. А матрицасының реті 2-ге тең болғаны үшін А2 матрицасын есептеу керек.

Бұдан кейін коэффиценттерін Ньютон теңдеулерінен табамыз. Ол үшін матрицаларының іздерін есептейміз.

 

Олай болса А матрицасының характеристикасы. Берілген А матрицасы нақты Паскальметриялы квадрат матрица болсын. Ал В матрицасы

 

(1)

Түрлендіруден алынған матрица болсын. В мартица болып, ол А матрицамен бірдей меншікті мәнге ие. Егерде осылайша алынған В матрица диоганал матрица болса, онда В матрицасының диоганал элементтері А матрицасының меншікті мәндері болады. бұдан В диоганал матрицасының меншікті векторлары

бірлік векторлары болуы анық көрініп тұр. Алынған нәтижелерден теңдігін аламыз. Яғни А матрицасының меншікті векторлары С матрицасының бағандары болар екен. Якоби әдісінде А матрицасын диогоналды көрініске ұқсас түрлендірумен келтіру үшін С ортогонал матрица қолданылады. Ол үшін теңдігі орынды, мұнда -транспонирленген матрица. Бұл әдісте С ортогонал матрица элементар түрлендірулердің шегі есебінде анықталады. Бұл түрлендірулер А матрицасының элементтері үстінде [16]

 

С1 матрица көмегінде орындалады. Бұл матрицада бас диагоналдың i және j жолдарынан басқа элементетрі бірге тең. Ал бас диагоналдың i және j жолда жайғасқан элементтері cosj-ға тең. i жол j баған i жолының орналасқан элементтері сәйкес sinj тең болады. А матрицасына мұндай түрлендіруді қолдану j бұрышқа бұруға тең күшті. Осылайша С0 матрицасын бір рет қолдану нәтижесі матрицасы болады. Бұл матрицаның i және j жол, баған элементтері ғана А матрицасының элементтерінен өзгеше. Ал бұл жол және бағандағы элементтер А матрицасының элементтерінен

 

(3)

Бұл түрлендіруде j бұру бұрышын сондай таңдау керек. элементі нольге тең болсын. Ал түрлендірілетін матрица Паскальмметриялы матрица болғаны үшін элементі де бір уақытта нольге айналады. Осылайша

(4)

Бұл түрлендіруді кетпе-кет А матрицасына қолданып, шегінде диогонал матрица алу мүмкін, ал оның диагонал элементтері меншікті мән болады. Әрбір бұруда элемент үшін бас диагоналда жатпаған матрицаның ең үлкен элементін тағайындаймыз. Мтрицаны түрлендіру интерициялық тәсілмен жүргізілгені үшін, әрбір бұруда процестің аяқталуы тексеріледі. Бұл үшін есептеу анықтығы беріледі, берілген анықтықпен, В матрицасының барлық диоганалдық емес элементтері абсалют шамасы бойынша салыстыылып шығады.

Айталық берілген анықтылық n бұрудан кейін орындалсын. Онд В диагонал матрица

. . . А С0 С1 . . . Сn (5)

Көріністе болады, ал меншікті векторлар матрицасы

С=C0 C1 . . . Cn (6)

Көріністі болады.

Сызықты алгебраның екінші негізгі мәселесін қарастырайық. Ол А матрица үстінде орындалатын операциялармен Паскальпатталады. Егер Ах=в түрлендірудегі в вектор х векторымен бір бағытты болса, онда в векторының компоненттері ві Х векторының копоненттері хі пропорционал болады және төмендегі қатынасты аламыз.

АХ=lХ (1)

Бұл Х қатысты біртекті жүйеге тең күшті.

(А-lЕ)Х=0, (Х¹0) (2)

Егер |А-lЕ|=0 болса, онда (2) жүйе х векторы үшін (белгілі l да) нөльге тең емес шешімге ие болады. Бұл теңдік характеристикалық теңдеу деп.

аталады |А-lЕ|=Рп(l)=0 (3)

Мұнда Рп(l)-характеристикалық өп мүшелік. l1,l2,...,lп скалярлары А матрицасының характеристикалық (меншікті) мәні деп. аталады. Ал әрбір lі ге, і=1,..., п сәйкес төмендегі жүйені қнағаттандырған нөльге тең емес хі векторлар

АХі=lіхі немесе (А-lіЕ)Хі=0, і=1,2,...,п (4)

Меншікті векторлар деп. аталады. Меншікті мәндер проблемасы, көпір, үй құрғанда, ұшатын аппараттар және бсқа да конструкцияларды жобалағанда кесдеседі. Бұл мәселелер тепе-теңдік жағдайынан кіші ауытқумен характеристикада. Тағыда сандық схемалардың тұрақтығын таңдауда кездеседі.

Характеристакалық теңдеу және оның меншікті мәні және меншікті векторлары механикалық теорияда немесе макроскопиялық деңгейлердегі электр толқындарында негізгі есептеу қатынастары болады.

Меншікті мәннің толық және толық емес проблемаларын ажратамыз. Кейде барлық меншікті мәндерді және меншікті векторларды немесе меншікті мәндердің бір бөлігі қарастырылады. Мысал r(А)= lI(A)| и |lI(A)| r(А) шамасы спектр радиусы деп. Аталады [17].

Ескертулер. егер lI меншікті мәні үшін меншікті вектор хі табылса, онда mхі векторда lI меншікті мәнінің меншікті векторы болады, мұнда m-кез-кеген сан.

Қос әртүрлі меншікті мәндерге сызықты байланыспаға векторлар сәйкес келеді; характеристикалық теңдеудің К-еселі түбріне саны к-дан аспайтын сызықты байланыспаған меншікті векторлар сәйкес келеді.

Паскальмметриялық матрица lі, і=1,п, нақты меншікті мәндер толық спектріне ие болады. Паскальметриялы матрицаның характеристикалық теңдеуінің к-еселі түбіріне саны к-ға тең сызықты байланысты емес меншікті векторлар сәйкес келеді.

Оң анықталған Паскальмметриялы матрица толық спектрлі нақты оң меншікті мәнге ие болады.

 

Мысал. Берілген матрицаның менш ікті мәні және менш ікті векторы табылсын.

Шешуі: А матрицаның характеристикалық теңдеуін түземіз.

 

Бұдан және мәндерін табамыз. мәнін алып (1) теңдеуіне қоямыз, нәтижеде

 

 

Немесе

 

 

теңдеулер жүйесін табамыз. жүйенің матрицасының рангы онда оның екі теңдеуі үшіншісінің салдары (следствие) болады. Сол үшін

 

 

Теңдеуінің шешімін табу жеткілікті. мәндерін беріп

 

 

теңдігін аламыз. Мұнда с1 және с2 – бір мезгілде нольге тең емес кез-келген сан. Дербес жағдай үшін деп алып, А матрицасының сызықты байланысты емес меншікті векторларының жай базистік жүйесін аламыз.

 

Ал характеристикалық санына сәйкес келетін А матрицасының қалған меншікті векторлары табылған базистік векторлардың сызықты комбинациясы болады. Олар векторларына тартылған (натянутая) жазықтықты толтырады. Енді мәнін аламыз. Бұл мәнді (1) теңдеуге қойып

 

 

немесе

 

 

Табылған жүйенің матрицасының рангы болады. Мұнда сол жақтағы жоғарғы минор

 

 

Бұдан жүйенің үшінші теңдеуі қалған екеуінің салдары, сол үшін екі теңдеуді қарастырумен шектелсек болады [18].

 

Бұдан

 

 

немесе

 

 

 

Мұнда С- нолге тең емес өзгермес сан. С=1 деп алсақ

Тікелей жаю әдісі. Реті үлкен болмаған (п£10) матрицалық меншікті санның тола проблемасын тікелей жаю әдісімен шешу үмкін. Бұл жағдайда төмендегіге ие боламыз.

|

А-lЕ|= =Рп(l)=0 (1)

 

Рп(l)=0 сызықты емес теңдеу. Он шешу жалпы айтқанда п комплексті меншікті мән l={l1,l2,...,lп} береді, ол мәндерде Рп(l)=0 (і=1,п). l=lі-дің әр бірі үшін (А-lіЕ)Хі=0, і=1,п біртекті жүйенің шешімі табылуы мүмкін. Берілген анықтқта табылатын Хі шешімдер п жүйе құрайды, жалпы айтқанда п-өлшемді кеңестіктің әртүрлі екторлары, кейбір мәселелерде бұл векторлардың бірнешеуі (барлығы) өзара үспе-үст түсуі мүмкін.

Мәселені шешу методикасы. Берілген А амтрицасы үшін характеристикалық теңдеу түзу,. |А-lЕ|=0 |А-lЕ| детерминаттын жаю үшін әр түрлі әдістер қолдану мүмкін, мысалы: Крилов әдісі, Данилевський әдісі немесе басқа әдістер.

Характеристикалық теңдеуді шешіп l1,l2,...,lп меншікті сандарын табу. Бұл үшін әр түрлі әдістерді қолдану мүмкін.

Әрбір меншікті мән үшін жүйе құру керек.

(А-lіЕ)Хі=0, і=1,2,..п және Хі меншікті векторларын табу керек.

Ескерту.

Әрбір меншікті мән үшін бір немесе меншікті векторлар сәйкес келеді. Жүйенің |А-lЕ| анықтауышы нольге тең болғндықтан, берлген жүйе матрицасының рангы айнымалылар санынан кем болады яғни чапд (А-lЕ)=ч<п. Ал жүйенің ч-ге тең өзара байланыссыз теңдеулері болады. Жүйе шешеімін табу үшін ч айнымалыны ч теңдеуді сон дай таңдау керек, мұнда анықтауыш нөлтге тең болмасын. Қалған (п-ч) айнмланы жүйенің теңдігінің оң жағына өткізіп және оларды параметр деп. есептеу керек.

1-мысал.

Матрицаның меншікті саны және меншікті векторлары табылсын.

АÎR2*2, мұнда А=

Методика бойынша есептейміз. (1) теңдеуді жазып аламыз.

 

|А-lЕ|= =λ 2 -4λ-5=0 бұдан Р2(λ)= λ 2 -4λ-5=0

характеристикалық теңдеуді аламыз. Оның шешімдерін тбамыз.

Λ1=5, λ2=-1.

 

(А-λі Е)Хі=0, і=1,2 жүйесін әрбір меншікті мән үшін құрамыз және меншікті векторларын табамыз. Λ1=5 үшін жүйе түземіз

 

*

=0 немесе

–2х11-2х21=0

-4х11-4х21=0

 

Бұдан х11=-х21. егер х21=μ онда х11=-μ болады. Нәтижеде Х1={х11, х21}т={μ(-1;1)}т меншікті векторын табамыз. Λ2=-1 үшін жүйе түземіз

 

*

4х12-2х112=0

-4х12+2х22=0

 

Бұдан х22=2х12. Егер х12=μ онда х22=2μ болады. Нәтижеде Х2={х12, х22}т={μ(1;2)}т мұнда μ кез-келген нақты сан. 2-мысал. Матрицаның меншікті саны және меншікті векторы табылсын [19].

 

А= (1) характеристикалық теңдеуді жазып аламыз.

 

0 немесе (1-λ)[(2-λ)2-1]=0

 

2. характеристикалық теңдеудің түбірлері: λ12=1 (еселі түір), λ3=3 матрицаның меншікті мәндері.

Меншікті векторларын табамыз λ12-үшін (А- λ12Е)Х12=0

 

0 чапд (А-λ12А)=1 болғаны үшін жүйеде бірғана ерікті теңдеу бар.

Х11,2-х21,2+х31,2=0 немесе х11,2=х21,2-х31,2 Мұндағы х21,2=1; х31,2=0 деп алсақ. Х11,2=1 болады. Онда меншікті векторға Х= егер х21,2=0, х11,2=1 деп алсақ х11,2=-1 болады. Онда басқа меншікті вектор х2=

Айтып өту керек бұл екі вектор да сызықты байланыспаған. Λ3=3 мншікті мән үшін (А-λ3Е)Х3=0 жүйесін құрамыз. Жайылмасы

=0

Мұнда чапд (А-λ3Е)=2, онда екі теңдеуді таңдаймыз.

-х13-х23+х33=0, -2х33=0 Бұдан х33 =0, х13=-х23+х33 деп алып, х12=-1 аламыз және меншікті вектор

х3=

 

Леверье әдісі. n-ші ретті А матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттерін Лаверье әдісімен табу үшін, дәрежелі матрицаларды табу керек. Характеристикалық көпмүшеліктің сәйкес коэффиценттері Ньютон теңдеулерінің көмегінде табылады [20].

(1)

Мұнда матрицаларының іздері яғни болады. Мұнда матрицасының диоганал элементтері.

Леверье әдісімен көпмүшелік коэффиценттерін есептеуде бөлу амалы қолданбайды. Сол үшін матрица элементі кез-келген сен болуы мүмкін, соның ішінде ноль санды болуы мүмкін.

Мысал-1. Берілген

Матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттері Лаверье әдісімен табылсын.

Шешуі. А матрицасының реті 2-ге тең болғаны үшін А2 матрицасын есептеу керек.

Бұдан кейін коэффиценттерін Ньютон теңдеулерінен табамыз. Ол үшін матрицаларының іздерін есептейміз.

 

Олай болса А матрицасының характеристикасы. Якоби әдісі. Берілген А матрицасы нақты Паскальметриялы квадрат матрица болсын. Ал В матрицасы

(1)

Түрлендіруден алынған матрица болсын. В мартица болып, ол А матрицамен бірдей меншікті мәнге ие. Егерде осылайша алынған В матрица диоганал матрица болса, онда В матрицасының диоганал элементтері А матрицасының меншікті мәндері болады. бұдан В диоганал матрицасының меншікті векторлары

бірлік векторлары болуы анық көрініп тұр. Алынған нәтижелерден теңдігін аламыз. Яғни А матрицасының меншікті векторлары С матрицасының бағандары болар екен. Якоби әдісінде А матрицасын диогоналды көрініске ұқсас түрлендірумен келтіру үшін С ортогонал матрица қолданылады. Ол үшін теңдігі орынды, мұнда -транспонирленген матрица. Бұл әдісте С ортогонал матрица элементар түрлендірулердің шегі есебінде анықталады. Бұл түрлендірулер А матрицасының элементтері үстінде

С1 матрица көмегінде орындалады. Бұл матрицада бас диагоналдың i және j жолдарынан басқа элементетрі бірге тең. Ал бас диагоналдың i және j жолда жайғасқан элементтері cosj-ға тең. i жол j баған i жолының орналасқан элементтері сәйкес sinj тең болады. А матрицасына мұндай түрлендіруді қолдану j бұрышқа бұруға тең күшті. Осылайша С0 матрицасын бір рет қолдану нәтижесі матрицасы болады. Бұл матрицаның i және j жол, баған элементтері ғана А матрицасының элементтерінен өзгеше. Ал бұл жол және бағандағы элементтер А матрицасының элементтерінен

(3)

Бұл түрлендіруде j бұру бұрышын сондай таңдау керек. элементі нольге тең болсын. Ал түрлендірілетін матрица Паскальмметриялы матрица болғаны үшін элементі де бір уақытта нольге айналады. Осылайша

 

(4)

Бұл түрлендіруді кетпе-кет А матрицасына қолданып, шегінде диогонал матрица алу мүмкін, ал оның диагонал элементтері меншікті мән болады. Әрбір бұруда элемент үшін бас диагоналда жатпаған матрицаның ең үлкен элементін тағайындаймыз. Мтрицаны түрлендіру интерициялық тәсілмен жүргізілгені үшін, әрбір бұруда процестің аяқталуы тексеріледі. Бұл үшін есептеу анықтығы беріледі, берілген анықтықпен, В матрицасының барлық диоганалдық емес элементтері абсалют шамасы бойынша салыстыылып шығады. Айталық берілген анықтылық n бұрудан кейін орындалсын. Онд В диагонал матрица

. . . А С0 С1 . . . Сn (5)

көріністе болады, ал меншікті векторлар матрицасы

С=C0 C1 . . . Cn (6)

көріністі болады. Меншікті мәнді және векторды есептеудің Крылов әдісі. Бұл әдіс Гамильтон-Кели теоремасына негізделген. Теорема тұжырымы бойынша әрбір квадрат матрица, өзінің характеристикалық теңдеуін қанағаттандырады, яғни егер

 

 

өрнегі А матрицасының характеристикалық теңдеуі болса, онда

 

(1)

 

болады, мұнда -көпмүшелік коэффиценттері. Бұл коэффиценттерді анықтау төмендегіше орындалады. Айталық -кез келген нолге тең емес баған вектор болсын. (1) теңдеуді екі бөлігінде оң жағын векторына көбейтеміз [21].

 

(2)

 

Бұл теңдеуде

 

(3)

 

белгілеулерін енгізіп (2) теңдеуді

(4)

 

(3) жүйені шешіп коэффиценттерді табамыз.

1-мысал. Берілген

Матрицасының характеристикалық көпмүшелігінің коэффиценттері Крылов әдісімен табылсын. Шешуі. Бастапқы вектор үшін

баған векторын аламыз. Бұдан кейін (3) қатынастар көмегінде векторларының координаталарын есептейміз.

 

Енді (4) көріністегі теңдеулер жүйесін жазып аламыз.

 

Бұл теңдеулер жүйесін шешіп мәндерін табамыз. бұдан А матрицасының характеристикалық теңдеуі

 

көріністе болатынын табамыз.

 

 


Просмотров 2087

Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2020 год. Все права принадлежат их авторам!