Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Г. Матрицаларды көбейту



A=

және

B=

m x n және p x q түріндегі сәйкес матрицалар болсын. Егер А матрицаға баған сандары В матрицаның қатар санына тең болса, яғни

 

n = p (1)

болсаб онда мұндай матрица үшін m x q түріндегі С матрица олардың көбейтіндісі деп аталатын

 

С=

матрица анықталған болады, мұнда

 

Cij=ai1 b1j +ai2 b2j + . . .+ ain bnj(i=1,2,…,m; j=1,2,…,q)

 

Анықтамалардан келесі матрицаларды көбейту ережесі келіп шығады [3]:

екі матрицаның көбейтіндісіндегі i-қатары мен j-бағанындағы элементті алу үшін, бірінші матрицаның i-қатарындағы элементтерді екіншісінің сәйкес j-бағанындағы элементтеріне көбейтіп және алынған көбейтінділерді қосу қажет.

А В көбейтіндісі мағынаға ие болады сонда және тек қана сонда, егер А матрицасының қатар элементтері саны қанша болса В матрицасының баған элементтер саны сонша болса ғана. Дербес жағдайда квадраттық матрицаларды тек бірдей ретті болғанда ғана өзара көбейтуге болады.

1-Мысал.

 

A= B=

 

 

AB= =

 

2-Мысал.

 

. = = .

 

 

Матрицаны көбейту келесі қаПаскальеттерге ие болады:

A(BC)=(AB)C; 3) (A+B)C=AC+BC;

α(AB)=( αA)B; 4) C(A+B)=CA+CB

(A,B және С матрицалар, α-сан)

1)-4) теңдіктер, егер олардың бір бөлігі бар болса, онда бөлігі де бар болады және олар өзара тең деген мағынада түсінуге болады.

Екі матрицаның көбейтіндісі орын ауыстыру қаПаскальетіне ие емес, яғни, жалпы алғанда, АВ≠ВА, бұған мысалдар арқылы көз жеткізуге болады [4].

3-Мысал.



 

А= ; B= болса,

 

Онда АВ= , BA= ,

 

яғни бұл жерде АВ≠ВА .

Бұдан тыс, сондай болуы мүмкін, екі матрицаның бірдей тәртіпте алған көбейтіндісі мағынаға ие болып, ал сол матрицалардың басқа тәртіпте алған көбейтіндісі мағынаға ие болмауы мүмкін.

Мысалға, егер

А= ; В= болса,

онда AB= , ал ВА болмайды.

 

AB=BA болған дербес жағдайларда А және В матрицасы орын алмастырушы(коммутативті) деп аталады. Мысалы, бірлік Е матрицасы кез-келген сондай реттегі квадраттық А-матрицасымен орын алмастырушы бола алады, сонымен бірге

АЕ=EA=A

Сөйтіп бірлік Е матрицасы көбейтуде бір ролін атқарады.

Егер А және В бірдей реттегі квадраттық матрица болса, онда

 

det (AB)= det (BA)= det A* det B

Бұл формула анықтауыштарды өзара көбейту ережесіне келіп шығады.

Мысалы 3-мысалда келтірілген матрицалар үшін алатынымыз:

 

=

және

 

=

Кері матрицаларды қосу және көбейту амалдары.m қатар және n бағаннан тұратын тікбұрышты кестеде орналасқан m n сандар (нақты немесе комплексті) жүйесі

 

a11 a12 a13 . . a1n

А= a21 a22

a23 . . . a2n (1)



am1 am2 am3. . .amn

 

(сандық) матрица деп аталады. (1) кестенің қатар және бағандары матрицаның қатарлары деп аталады [5].

Берілген матрицаны құрайтын aij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) сандар оның элементтері деп аталады. Бұл жердегі бірінші i индексі қатар элементі номерін, ал екінші j-оның баған номерін білдіреді.

матрица үшін мына қысқартылған жазу жиі қолданылады.

 

A=[aij] (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

Немесе

A=[aij]m,n,

сонымен бірге А матрица m x n түрге ие деп аталады.

Егер m=n болса, онда матрица n ретті квадраттық деп аталады. Егер де m≠n болса, онда матрица тікбұрышты деп аталады. Дербес жағдайда, 1 x n түрдегі матрица ветор-қатар деп, ал m x 1 түрдегі матрица вектор-баған деп аталады. Сан(скаляр)ды 1 х 1 түрдегі матрица деп қарастыруға болады. Төмендегідей түрдегі квадраттық матрица

 

α1 0 0 . . . 0 (2)

0 α2 0 . . . 0

A= . . . .

0 0 0. . . α

 

диогональдық деп аталады да қысқаша [α1, α2,…, αn] деп жазылады. Егер αi=1(i=1,2,…,n) жағдай болатын болса, онда (2) матрица бірлік матрица деп аталады және әдетте Е әрпімен белгіленеді, яғни

 

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

E= . . . . .

0 0 0. . . 1

 

кронекер Паскальмволын енгізіп

0, егер і≠j болса,

δi j =

1, егер і=j болса ,

 

Е = [ δi j]

жазуға болады.

Барлық элементтері нольге тең матрица нольдік матрица деп аталады және 0 арқылы белгіленеді. Егер нольдік матрицаның тағы да қатар және баған сандарын көрсетпекші болса, онда 0mn , белгісін қолданады [6].

 

А= [ai j] n,n квадраттық матрицасымен

 

a11 a12 a13 . . . a1n

Det A= a21 a22

. . . . . . .

am1 am2 am3. . .amn

       
   


анықтауышы(детерминанты) байланысқан.

Бұл екі ұғымды бірдей мағынада теңестіруге болмайды. Матрица өздігінен сандардың тікбұрышты кесте түрінде жазылған, реттелген жүйесін береді, ал оның det A анықтауышы белгілі ереже бойынша анықталатын сан болады, атап айтқанда

Det A= (3)

Мұндағы (3) сумма 1,2,...,n элементтердің (α1, α2,…, αn) мүмкін болған барша орналастыруы болады, демек, n! қосылғышқа ие, сонымен бірге μ=0 болады, егер орналастыру жұп болса, және μ=1 болады, егер орналастыру тақ болса.

А. Кері атрицалардың теңдігі. Ені A=[aij] және В=[вij] матрицалары тең деп есептелінеді: А=В, егеролар бірдей түрде болатын болса, яғни бірдей сандағы қатар мен бағанға және сәйкес элементтері тең болса, яғни

aij = вij

Б. Кері матрицалар қосындысы мен айырмасы. Ені A=[aij]және В=[вij] бірдей түрдегі матрицалардың қосындысы деп сол түрдегі С[cij] матрицаға айтылады, оның cij элементтері қосындысына тең болады. Сөйтіп [6],

А+В=

Матрицалар қосындысы анықтамасымен тікелей оның келесі қаПаскальеттері келіп шығады:

A+(B+C)=(A+B)+C;

A+B=B+A;

A+0=A.

Дәл солай матрицалар айырмасы анықталады

 

А-В=

 

 

В. Кері матрицаны санға көбейту. A=[aij] матрицаның α санына (немесе α санының А матрицаға көбейтіндісі) көбейтіндісі деп, элементтері α санына көбейтуден алынатын матрицаға айтылады, яғни

Санды матрицаға көбейту анықтамасымен тікелей оның келесі қаПаскальеттері келіп шығады:

1A = A;

0A = 0;

α(βA) = ( αβ)A;

(α+β)A = αA+βA;

α(A+B) = αA+αB.

(Мұндағы А және В матрицалар, α және β-сандар ). Айту керек, егер А-n ретті квадраттық матрица болса, онда

 

det α A=αn det A болады.

 

-A=(-1) A

матрицасы қарама-қарсы деп аталады. Егер А және В матрицалар бір түрдегі болса, онда төмендегідей болуына оңай көз жеткізуге болады [7].

 

A-B=A+(-B)

 

A=

және

B=

m x n және p x q түріндегі сәйкес матрицалар болсын. Егер А матрицаға баған сандары В матрицаның қатар санына тең болса, яғни

 

n = p (1)

болса онда мұндай матрица үшін m x q түріндегі С матрица олардың көбейтіндісі деп аталатын

 

С=

 

матрица анықталған болады, мұнда

 

Cij=ai1 b1j +ai2 b2j + . . .+ ain bnj(i=1,2,…,m; j=1,2,…,q)

 

Анықтамалардан келесі матрицаларды көбейту ережесі келіп шығады: екі матрицаның көбейтіндісіндегі i-қатары мен j-бағанындағы элементті алу үшін, бірінші матрицаның i-қатарындағы элементтерді екіншісінің сәйкес j-бағанындағы элементтеріне көбейтіп және алынған көбейтінділерді қосу қажет.

А В көбейтіндісі мағынаға ие болады сонда және тек қана сонда, егер А матрицасының қатар элементтері саны қанша болса В матрицасының баған элементтер саны сонша болса ғана. Дербес жағдайда квадраттық матрицаларды тек бірдей ретті болғанда ғана өзара көбейтуге болады .

1-Мысал.

 

A= B=

 

 

AB= =

 

2-Мысал.

 

. = = .

 

 

Матрицаны көбейту келесі қаПаскальеттерге ие болады:

A(BC)=(AB)C; 3) (A+B)C=AC+BC;

α(AB)=( αA)B; 4) C(A+B)=CA+CB

(A,B және С матрицалар, α-сан)

1)-4) теңдіктер, егер олардың бір бөлігі бар болса, онда бөлігі де бар болады және олар өзара тең деген мағынада түсінуге болады.

Екі матрицаның көбейтіндісі орын ауыстыру қаПаскальетіне ие емес, яғни, жалпы алғанда, АВ≠ВА, бұған мысалдар арқылы көз жеткізуге болады.

3-Мысал.

 

А= ; B= болса,

 

Онда АВ= , BA= ,

 

яғни бұл жерде АВ≠ВА .

Бұдан тыс, сондай болуы мүмкін, екі матрицаның бірдей тәртіпте алған көбейтіндісі мағынаға ие болып, ал сол матрицалардың басқа тәртіпте алған көбейтіндісі мағынаға ие болмауы мүмкін.

Мысалға, егер

А= ; В= болса,

 

онда AB= , ал ВА болмайды.

 

AB=BA болған дербес жағдайларда А және В матрицасы орын алмастырушы(коммутативті) деп аталады. Мысалы, бірлік Е матрицасы кез-келген сондай реттегі квадраттық А-матрицасымен орын алмастырушы бола алады, сонымен бірге

АЕ=EA=A

Сөйтіп бірлік Е матрицасы көбейтуде бір ролін атқарады.

Егер А және В бірдей реттегі квадраттық матрица болса, онда

 

det (AB)= det (BA)= det A* det B

Бұл формула анықтауыштарды өзара көбейту ережесіне келіп шығады.

Мысалы 3-мысалда келтірілген матрицалар үшін алатынымыз:

 

 

=

және

 

 

=

 

Кері матрицаларды транспанирлеу амалы

 

А=

m x n түріндегі матрицада қатарларды сәйкес бағандармен алмастырып, транспонирленген матрица деп аталатын m x n түріндегі матрицаны аламыз [8].

A'=AT= ,

Дербес жағдайда

 

a=[a1 a2. . . an]

вектор-қатар үшін транспонирленген болып

 

a'=

вектор-баған болады. Транспонирленген матрица келесі қаПаскальеттерге ие:

екі рет транспонирленген матрица бастапқы матрицамен бірдей болады.

сумманың транспонирленген матрицасы транспонирленген матрицалар қосындысына тең болады, яғни

 

Көбейтіндінің транспонирленген матрицасы транспонирленген матрицалардың кері ретте алынған көбейтіндісіне тең болады, яғни

 

 

Шындығында, матрицаның i-қатармен j-бағандағы элементі АВ матрицаның i-қатарымен j-бағанындағы элементіне тең болады, яғни

 

соңғы өрнек әрине, матрицаның i-қатар элементтерінің матрицаның сәйкес j-баған элементтеріне көбейтінділерінің қосындысын береді, яғни матрицаның жалпы элементіне тең болады,

Егер А-матрица квадраттық болса, онда, әрине,

 

A=[aij] матрица Паскальмметриялы деп аталады, егер ол өзінің транспонирленген матрицасымен беттесетін болса, яғни егер

 

 

A'=A. (1)

 

теңдіктен келіп шығатыны: 1) Паскальмметриялық матрица-квадраттық (m=n) болады және 2) оның бпс диогоналға қатысты Паскальмметриялы элементтері өзара тең болады, яғни

 

 

көбейтінді, әрине, өздігінен Паскальмметриялық матрицаны береді, ол

 

 

мысалы,

= = = .

 

Кері матрицаны элементар түрлендірулер

 

А-квадраттық матрица болсын. Егер р-натурал сан болса, онда

 

деп алынады.

 

Қосымша деп келісіледі, мұнда Е бірлік матрица. Егер А матрица ерекше болмаса, онда кері дәреже енгізуге болады, оны мына қатынаспен анықтап алайық [9]:

 

Бүтін көрсеткішті матрица дәрежелері үшін әдеттегі ережелер орынды болады:

1) ;

2) .

Квадраттық болмаған матрицаны дәрежеге көтеріп болмайды.

1-Мысал.

 

болсын

онда

 

болады.

 

2-Мысал.

 

 

табылсын. Шешуі

= =

 

егер А және В бірдей реттегі матрица болып, мұнда АВ=ВА болса, онда Ньютон биномы формуласы орынды болады

 

.

 

кез-келген n-ретті квадраттық матрица болсын. Элементар алгебра формулаларына ұқсас Х матрицаның бүтін рационал функциялары анықталады:

 

(оң полином);

 

(сол полином)

 

мұнда - m x n түрдегі матрицалар немесе сәйкес m x m

түрдегі матрицалар және Е-n ретті бірлік матрица жалпы айтқанда, болады. Сондай-ақ, Х-матрицаның бөлшщек рационал функцияларын енгізуге болады, олар мына формулалармен анықталады.

 

және

,

 

мұнда және -матрицалық полиномдар және

болады. Кері матрицаны есептеу

1.Анықтама. Берілген матрицаға кері матрица деп, ол оң жағынан да, сол жағынан да берілген матрицаға көбейткен кезде бірлік матрицаны беретін матрицаға айтады.

А матрица үшін кері матрицаны А-1 деп белгілейік. Онда анықтама бойынша алатынымыз [10]:

 

(1)

мұнда Е-бірлік матрица. Берілген матрицаға кері матрицаны табу берілген матрицаны айналтыру делінеді.

2.Анықтама. Квадраттық матрица ерекше болмаған делінеді, егер оның анықтауышы нольге тең болмаса.

Кері жағдайда матрица ерекше немесе Паскальнгулярлық деп аталады. Теорема. Кез-келген ерекше болмаған матрицаға кері матрица табылады. Дәлелдеуі. n-ретті ерекше болмаған матрица берілсін

 

A= ,

 

мұнда . А матрица үшін қосылған (немесе одақтас) матрица деп аталатын матрица құрастырайық

 

 

= , (2)

 

мұнда элементтердің сәйкес алгебралық толықтауыштары (таңбасы бар минорлары) болады.

Айту керек, қатар элементтерінің алгебралық толықтауыштары сәйкес бағандарда орналасады, яғни транспонирлеу амалы орындалады.

Соңғы матрицаның барлық элементтерін А матрица анықтауышы мәніне бөлейік, яғни ∆-ға:

 

. (3)

матрицаның ізделінетін кері матрица екендігін дәлелдейміз:

 

= .

Бізге белгілі болғаны: 1) анықтауыштың кейбір жолдық (қатар немесе бағанның) элементтерінің осы элементтердің алгебралық толықтауыштарына көбейтінділерінің қосындысы анықтауышқа тең болады және 2) анықтауыштың кейбір элементтерінің алгебралық толықтауыштың сәйкес параллель қатар элементтеріне көбейтіндісінің суммасы нольге тең болады, яғни

 

(4)

және

 

 

мұндағы

1, i=j болғанда,

{ 0, i≠j болғанда.

 

Осы қаПаскальеттер негізінде көбейтіндіні құрастыра отырып, алатынымыз [11]:

= = =E (5)

 

демек, =E

(5) формуланы қысқаша шығаруға болады, егер қысқаша белгілеулерді қолданатын болсақ

 

және

 

(4) қатынасты ескере отырып, мынаны аламыз:

 

 

Дәл солай, болатынына көз жеткізуге болады. Демек,

болады, яғни (6)

 

мұнда .

1. Ескерту. Берілген А матрицасы үшін кері А-1 матрица жалғыз болады. Одан тыс, кенз-келген А матрицаның оң жақ кері(сол жақ кері) матрицасы рның кері А-1 матрицасымен (егер бар болатын болса) беттеседі. Шындығында, егер

 

 

болса, онда бұл теңдікті А-1 ге сол жақтан көбейтіп, алатынымыз:

немесе

дәл солай, егер

 

болса, онда

 

 

Сондықтан (1) қатынасты тексеруде бір теңдікпен шектелу жеткілікті болады .

2. Ескерту. Ерекше матрицаға кері матрица болмайды. Шындығында А-ерекше матрица болса, онда

теңдіктен

яғни

 

0=1 ?!,

 

бұлай мүмкін емес. Тұжырым дәлелденді. Мысал.

 

А=

 

Матрица үшін кері матрица табылсын. Шешуі: Анықтауыштың мәні:

 

= = =1 0.

 

Онда А ерекше болмаған иарица болады. Қосылған матрицаны құрастырамыз.

= .

матрицаның барлық элементтерін ∆=1 ге бөлеміз және одан алатынымыз:

 

шындығында . екендігін тексеру ұсынылады. Кері матрицаның кейбір негізгі қаПаскальеттерін көрсетейік. Кері матрицаның анықтауышы бастапқы матрицаның анықтауышының кері мәніне тең, шындығында

 

 

болсын. Екі квадраттық матрицаның көбейтіндісінің анықтауышы осы матрицалар анықтауыштарының көбейтіндісіне тең екендігін ескере отырып, мынаған ие боламыз [12]:

 

демек

 

.

Квадраттық матрицалардың көбейтіндісінің кері матрицасы көбейткіштердің кері матрицаларының кері тәртіпте алынған көбейтіндісіне тең, яғни

 

шынында

және

 

демек, матрицасы АВ матрица үшін кері болады. Жалпы жағдайда

 

.

 

Бұдан, соңғы теңдікті сол жағынан матрицасына көбейтіп, мынаған ие боламыз:

 

немесе

 

 

дәлелденуі қажет еді. Ескерту. Кері матрица жәрдемінде матрицалық теңдеулер оңай шешіледі

 

және

 

шындығында, егер болса, онда

және

болады.

 

 


Просмотров 2573

Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2020 год. Все права принадлежат их авторам!