Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Квадратурные формулы Ньютона – Котеса



Запишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов:

, (6)

где .

При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения:

Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона – Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают.

Квадратурная формула Гаусса

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула

(13)

была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член обращается в нуль, когда , где Сi=const, i=0,¼,m. Тогда

Учитывая соотношение: , получаем систему 2n уравнений относительно : (14)

Система (14) нелинейная, и ее исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой:

для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы xj были корнями многочлена wn(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.

Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра

(15)

Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы xj, j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-й степени, а из системы (14), зная xj, легко найдем Аj.

Для произвольного интервала [a,b] сделаем замену . В этом случае формула Гаусса примет вид

.

Метод Монте-Карло

Методы решения задач, использующие случайные величины, называются методами Монте-Карло.

Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m-кратный интеграл

, (17)

где функция f(x1,...,xm) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m-мерном параллелепипеде . Для преобразования m-мерного параллелепипеда в m-мерный единичный куб сделаем замену переменных следующего вида: , при этом 0£xj£1. Якобиан этого преобразования



 

Тогда интеграл (17) перепишется в виде

, (18)

где , s – новая область интегрирования, лежащая внутри m-мерного единичного куба.

Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ; ¼, . Точки можно рассматривать как случайные точки из m-мерного единичного куба. Будем считать, что n случайных точек принадлежат области s, а (N – n) точек не принадлежат ей.

Если взять достаточно большое число n точек из области s, то приближенно можно считать

, (19)

тогда выражение (18) можно переписать в виде

, (20)

здесь s – объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно считать, что , тогда

.

Часть 5.

1. Необходимое условие экстремума

 

Это условие совершенно аналогично необходимому условию экстремума функции одной или нескольких переменных. Допустим, что некоторая функция реализует локальный максимум или минимум функционала I{у}в выбранном функциональном пространстве (R), причем этот функционал имеет вариацию , т. е. допускает вблизи линеаризацию. Кроме того, будем считать, что рассматривается внутренний (не граничный)экстремум, т.е. функционал I{у}определен для всех у, достаточно близких к всмысле выбранной нормы; это будет предполагаться всюду далее, если не оговорено противоположное.



Тогда для любой должно быть

. (18)

В самом деле, пусть для определенности при функционал I имеет минимум и >0 для некоторой . Подставим в (12) kδy вместо δу, где k - скаляр: получим

 

Однако при малых |k| левая часть должна быть положительной, а правая имеет знак k,т.е. может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Полученное противоречие и доказывает необходимость условия (18).

Как видно из описания постановок задач вариационного исчисления в конкретных задачах часто рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, составляющих определенное функциональное пространство, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например

. (19)

В этом случае условие (18) должно выполняться для любой вариации δу, удовлетворяющей соответствующим однородным условиям, т.е. для условий (19)

, .

В самом деле, для таких δу функция y+kδy также удовлетворяет условиям (19), а потому можно повторить то же доказательство, что было приведено выше для (18).

Линейные неоднородные условия определяют в пространстве (R) гиперплоскость (речь идет о гиперплоскостях в бесконечномерном функциональном пространстве). Если ставится задача об экстремуме функционала на некотором криволинейном многообразии (S) пространства (R), то, проводя линеаризацию в точке экстремума, получим, что условие (18) должно выполняться для любой dy, принадлежащей касательной гиперплоскости к (S), проведенной в точке экстремума.

Уравнение Эйлера

Во многих задачах удается, пользуясь необходимым условием экстремума, найти искомое решение у(x). Однако форма (18) этого условия не совсем удобна, так как она включает в себя произвольную функцию δу. Поэтому необходимое условие преобразуют к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов, и дальнейшее содержание в основном посвящено рассмотрению этих классов. Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (обычно дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (18).

 


Просмотров 519

Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2020 год. Все права принадлежат их авторам!