Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Трудоемкость освоения дисциплины



Виды учебной работы, формы контроля Всего, час. Учебные семестры
Аудиторные занятия, час.
Лекции, час.
Практические занятия,час.
Лабораторные работы,час.      
Самостоятельная работа студентов, час.
Вид промежуточного контроля   Э Э
Общая трудоемкость по учебному плану, час.
Общая трудоемкость по учебному плану, з.е.

Краткое описание дисциплины

Дисциплина «Математический анализ» является базовой компонентой математического цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100.62 «Экономика».

Дисциплина посвящена изучению основополагающих понятий и методов дифференциального и интегрального исчисления функции одной и нескольких переменных, вопросам суммирования и сходимости числовых и функциональных рядов. Изучение курса «Математический анализ» предназначено для формирования и усвоения знаний, умений, навыков в области экономической теории и практики, которые необходимы для работы в государственных и частных структурах, а также развития профессиональных качеств, компетенций, необходимых для выполнения функциональных обязанностей в сфере экономики.

Теоретическая часть курса в значительной степени поддерживается практическими занятиями, на которых осмысливаются и закрепляются основные понятия и методы курса, осваиваются оптимальные (стандартные и искусственные) приемы решения задач математического анализа и его приложений.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Код разделов и тем Раздел, тема дисциплины* Содержание
Р1 Введение в математический анализ Высказывания, аксиомы, теоремы. Элементы математической логики: логические операции, предикаты, кванторы. Операции над множествами; декартово произведение множеств. Множество действительных чисел. Ограниченность числовых множеств. Определение и условия существования граней числовых множеств. Индуктивное свойство натурального ряда. Принцип математической индукции; биномиальные коэффициенты. Принципы полноты множества вещественных чисел: принцип вложенных отрезков. Отображения (функции); композиция отображений (сложная функция); обратное отображение. Мощность множества. Примеры функций в экономике: функции спроса, потребления и предложения; функции полезности, производственные функции, функции Торнквиста и др.
Р2 Последовательности вещественных чисел Предел числовой последовательности. Расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Лемма о пределе промежуточной последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Сравнение последовательностей. Cимволы «o», «O». Теоремы о сумме пределов, о произведении пределов и об обратной величине предела. Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности. Число е и его иррациональность. Приложение последовательностей в экономике. Задача о непрерывном начислении процентов
Р3 Предел функции одной переменной Предельная, внутренняя, изолированная, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества. Предел функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность (критерий Гейне); арифметические свойства предела; свойства предела, связанные с неравенствами. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции в точке и на множестве. Локальные свойства непрерывных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва; классификация точек разрыва. Ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений функций, непрерывных на отрезке (компактном множестве). Непрерывность обратной монотонной функции. Основные элементарные функции: свойства, непрерывность
Р4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференцируемость; производная и дифференциал функции в точке; геометрический и экономический смысл. Эластичность функции. Применение эластичности в экономическом анализе. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица производных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Вычисление производных функции, заданной неявно. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной. Формула Лейбница для производных произведения двух функций. Иллюстрация экономического смысла второй производной. Основные теоремы для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа). Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Монотонность; критерий монотонности и строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремумы; необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма); достаточные условия локального экстремума функции в точке в терминах поведения первой производной функции в окрестности точки. Выпуклость функции на промежутке; условие выпуклости дважды дифференцируемой функции; положение касательной относительно графика выпуклой функции. Точка перегиба. Достаточные условия точки локального экстремума и точки перегиба в терминах знака старших производных в точке. Асимптоты графика функции одной переменной. Приложение производной в экономической теории: предельные показатели в микроэкономике; максимизация прибыли; модель производственных поставок; закон убывающей эффективности производства
Р5 Неопределенный интеграл Первообразная и ее связь с неопределенным интегралом. Свойства неопределенного интеграла. Методы вычисления неопределенного интеграла: интегрирование по частям, замена переменной и др. Интегрирование рациональных (дробных), тригонометрических и иррациональных выражений
Р6 Определенный интеграл Римана и его приложения. Несобственные интегралы Определенный интеграл Римана по отрезку. Геометрический смысл. Пример функции, не интегрируемой по Риману. Ограниченность интегрируемой функции. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные, ограниченные с множеством точек разрыва жордановой меры ноль. Свойства интеграла по функции: линейность интеграла, интегрируемость произведения, частного; интегрируемость сложной функции. Аддитивность интеграла по множеству. Свойства интегралов от неотрицательных функций. Оценки интегралов; первая теорема о среднем. Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной непрерывной функции на промежутке. Связь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Геометрические приложения интеграла. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике: дневная выработка; выпуск оборудования при постоянном темпе роста; задача замены оборудования; индекс Джини и др. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сходимости. Интеграл Пуассона. Функция Лапласа, ее свойства, график
Р7 Функции нескольких переменных. Задачи оптимизации Топологические понятия в . Последовательности в . Лемма о покоординатной сходимости. Предел функции в точке. Повторные пределы; связь двойного и повторного пределов. Достаточные условия равенства повторных пределов. Понятия непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью и существованием частных производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Геометрическая и экономическая интерпретация частных производных. Дифференциал и его использование для приближенного вычисления значений функций. Инвариантность формы дифференциала ФНП. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях и ее применение в экономической теории. Градиент и производная по направлению. Свойства градиента. Линии и поверхности уровня. Ортогональность градиента и множества уровня ФНП в точке ее дифференцируемости. Сложная функция нескольких переменных, ее дифференцирование. Частные производные и дифференциалы высших порядков; условия равенства смешанных производных. Инвариантность формы первого дифференциала. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Неявные функции одного и нескольких переменных: существование, непрерывность, дифференцируемость. Задачи оптимизации. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие точек локального экстремума в терминах второго дифференциала. Глобальный экстремум. Схема его отыскания. Геометрическая интерпретация задачи оптимизации для функции двух переменных. Классическая задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Геометрический смысл необходимых условий локального условного экстремума. Метод наименьших квадратов построения эмпирических формул по экспериментальным данным. Функции нескольких переменных в экономике: производственные функции; коэффициенты эластичности; задачи оптимизации производства; задача об оптимальном потреблении (функции полезности, линии безразличия); задача максимизации прибыли производства продукции; задача оптимизации спроса (модель Р. Стоуна)
Р8 Ряды Числовые ряды. Сходимость ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами и признаки их сходимости. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница; оценка остатка ряда с заданной точностью. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье
Р9 Интегрирование функций нескольких переменных Двойной интеграл, его свойства, вычисление, замена переменных в двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника). Тройной интеграл. Сферические и цилиндрические координаты. Замена переменных в кратном интеграле

 





3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ

(по очной форме обучения)

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!