Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тріангуляція з лінійною інтерполяцією



Block Kriging

Додаток

Для прикладу використання методів інтерполяції в географії була використана карта полів щільності по певних культурах в Харківської області.

 

 

 

показників – карти щільності. Більш складним різновидом першої групи карт полів дискретних явищ слід розглядати відомі карти потенціалів, які характеризують сумарну віддаленість точок території від всіх об’єктів району, який вивчається з урахуванням їх «мас».

Щільність – ступінь насиченості даної території об’єктами. Вона характеризує не лише кількість різних об’єктів, але і їх кількісні ознаки, виражені в об’ємних, площинних, вагових, енергетичних та інших показників.

Можна виділити два основних методичних підходи до картографування щільнісних характеристик: дискретний, він передбачає створення картограм, і безперервний, оснований на ізолінійному способі картографування зображень. Не зважаючи на дискретний характер розміщення окремих об’єктів на території, при достатній їх масовості і дисперсності розподілення щільностей отримують риси безперервності, властиві фізичним полям. Це дає можливість називати безперервне щільнісне розміщення явищ полями щільності і відображати на картах за допомогою ізоденс.

Ізоліній не картографування щільнісних показників відрізняються перш за все збільшеною наочністю зображень. Ізолінії дозволяють легко вловити основні закономірності розміщення явищ. Аналіз досвіду свідчить про те, що різність методичних підходів до побудови ізоденс визначаються багатьма факторами, з яких виділяється характер отримання вихідних даних, а також способи їх локалізації на вихідній робочій карті. Ізоденси, як і другі ізолінії, будуються шляхом інтерполяції значень щільності в опорних точках, рівномірно чи нерівномірно розташованих на території яка картографується.

При площинній локалізації вихідних щільностей необхідно виконати операцію точкової дискретизації. На робочу карту наноситься регулярна сітка точок в кутах квадратів або рівносторонніх трикутників. Кожній точці присвоюється значення щільності, яка характеризує всю територіальну комірку, в межах якої вона залишилась. В результаті отримуємо точкову модель розподілення щільностей. Операція точкової дискретизації і при створенні серії карт полів морфо метричних характеристик рельєфу земної поверхні та мозаїки контурів.



При побудові карти щільнісних показників є доцільних згущувати сітку опорних точок шляхом розрахунку щільностей по коміркам, які перекриваються. Цей прийом збільшує об’єм розрахунків, але за рахунок цього збільшується точність проведення ізоденс.

Для успішного використання карт полів щільності необхідно виявити їх надійність (ступінь відповідності картографічної моделі, яка передає дійсність). Виділено 2 сторони надійності: формальна, основана на кількісній оцінці точності такт, та змістовна, вона передбачає оцінку географічної вірності.

Звужуюче коло дозволяє створювати карти полів щільності, по яким можна вирахувати навіть людяність окремих населених пунктів з великою точністю, ніж по значковим картам.

Висока якість карт полів щільності можна забезпечити поєднанням формального та змістовного підходів. Перший основується на знанні методичних і технічних основ картографування. Другий основується на знанні природи об’єкта, який вивчається, головних закономірностей його розміщення на території, зв’язків та тенденції розвитку. На етапі підготовки до створення карт це допомагає правильно обрати спосіб

Список використаної літератури:

1. Гриценко А.В. Математичні методи в географії: Учбовий посібник// Гриценко В.А., Болосевич Є.В., Артищева Е.К. – Калінінград, 1999. – 75 с.

2. Дьяконов К.Н. Современные методы географических исследований: Книга для учителя/ Дьяконов К.Н., Касимов Н.С., Тикунов В.С. – М: Просвящение: - АО «Учеб. лит.», 1996. – 207 с.: ил.

3. Ігошин М. І. Математичні методи і моделювання у фізичній географії: Підручник Практикум// Ігошин М.І. – Одеса: Астропринт, 2005. - 464с.

4. Смирнова Г.Н. Численные методы анализа: Интерполяция / Смирнова Г.Н. – 1978. – 55 с.



5. Червяков В.А. Модели полей в географии: теория и опыт картографирования/ Червяков В.А., Черванев И.Г., Кренке А.Н. и др. – Новосибирск: наука. Сиб. Отд-ние, 1989. – 145 с.

6. http://www.uchites.ru/files/nummethod_book_chapter3-12.pdf

7. http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/6/1.html

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяция

9. http://ru.wikibooks.org/wiki/Интерполяция_и_аппроксимация_функций

10. http://translate.google.ru/translate?hl=ru&langpair=en|ru&u=http://www.sppsr.ucla.edu/up206b/Interpolation_methods.htm

11. http://translate.google.ru/translate?hl=ru&langpair=en|ru&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Spatial_analysis

12. http://soviet-encyclopedia.ru/?a=0002989800

13. http://www.soagi.ru/Free_article/ Новые методы интерполяции поверхностей для геологического моделирования.pdf.

- В фотографії — функція цифрових камер, яка дозволяє додати деяку кількість пікселів до вже існуючого зображення для збільшення його розміру. Існує декілька алгоритмів інтерполяції: біленійний, бікубічний та інші, але будь-який з них призводить до погіршення якості зображення. Інтерполяція також використовується в усіх цифрових камерах для розрахунку кольору кожного елементу зображення по сусіднім пікселям (так як кожний піксель сенсору сприймає тільки один колір).

 

 

картографування полів щільності, а також встановити параметри формалізованого переважання вихідних даних. Відношення полів.

Послідовність (поетапність) використання карти і математичної статистики – характерна риса картографо-статистичного методу. Статистичні розрахунки можуть застосовуватися до і після створення карти. При цьому і сама карта слугує або джерелом даних, або засобом відображення результатів розрахунків. Звідси при спільному використанні карти і математичної статистики виділені два етапи одного закінченого циклу: 1) статистичне узагальнення даних і 2) створення на основі них карти. Перший включає в себе процес збору, систематизації і статистичної обробки кількісної інформації, яка отримується з вихідної карти. Другий передбачає створення карт, які відображають розподілення вирахуваних статистик. Порядок етапів може бути змінена. Тоді статистичні розрахунки слідують за картостворюючими роботами, в результаті чого отримують статистичні показники, формули, графіки, криві розподілення та ін..

Сутність моделювання основується на заміщенні об’єкта дослідження його моделлю.

Математико-статистичні моделі відрізняються від картографічних меншою наглядністю і більшою абстрактністю, яка послідовно збільшуються при повторенні циклів спільного використання карти та математичної статистики.

Будучи моделями наглядними, картографічні зображення полів дають можливість визначати просторові статистики окомірно чи за допомогою простіших геометричних будов. Прийоми таких спрощених понять названі візуально-картографічним способом. На відміну від аналітико-картографічного способу від дозволяє, аналізуючи нерівності статистичного рельєфу, по рисунку ізоліній і характеру розміщення різних обозначень (точок, значків, ареалів) знаходити приближені значення різних статистичних показників, будувати площини, визначати регресії. Аналіз основується на розподіленні скалярних та векторних полів на складові поля: трендові та остаточні, регулярні та випадкові, регіональні та локальні, горизонтальні та вертикальні, регресійної залежності і відхилень від регресії.

 


3. Застосування інтерполяції в різних сферах

Інтерполяція (від лат. interpolatio — перетворення, спотворення, підновлення, підробка ) — термін, що вживається в різних значеннях у різних областях знань:

- Загально — при написанні термінів — неавторські вставки слів, речень або чисел у тексті під час переписування, опрацювання рукописів, при копіюванні географічних карт тощо.

Історичній науці відомо немало інтерполяцій. Правники, вивчаючи кодекси римських юристів, виявили в них численні пізніші вставки. Філологи знайшли інтерполяції в творах Гомера, біблеїсти в Старому і Новому заповіті.

- У математиці — спосіб, за допомогою якого за таблицею, що містить деякі числові дані, можна знайти проміжні результати, яких нема безпосередньо в таблиці.

Інтерполянт - в обчислювальній математиці це функція, яка будується за значеннями в деяких точках. Ця функція може бути використана для того, щоб наблизити значення нових точок.

До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) і теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.

- В геодезії та маркшейдерській справі інтерполяція використовують для визначення проміжних значень функцій за математичними таблицями, визначення проміжних значень показника за даними ізоліній на графіках ізопотужностей, ізогіпс та інше.

- В статистиці — спосіб математичного обґрунтування невідомих значень динамічного ряду явищ за допомогою відомих сусідніх членів ряду або на основі встановленого взаємозв'язку інтерпольованого явища з іншими явищами, кількісний вираз яких відомий.

 

сітки. Набори даних які містять розріджені області призводять до трикутних гранях на карті.

Переваги:

§ більш достовірні і надійні результати;

§ забезпечення більш чіткого бачення проблеми;

 

Недоліки:

§ збільшення кількості часу;

§ трудність роботи з великою кількістю даних;

конфлікти за рахунок теоретичної бази.

2. Інтерполяція

Інтерполяція або інтерполювання (от лат interpolatio - зміна, спотворення) – 1. надходження проміжних значень деякої закономірності даних (функцій) в ряді відомих її значень.

1. Зміна, вставка в текст слов або фраз, відсутніх в оригіналі; зміна первісного тексту.

 

Задача інтерполяції складається з того, щоб по таблиці даних встановити неперервну функцію.

 

Суміжні концепції

Екстраполяція - методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої).

Апроксимація - методи побудови наближених кривих.

 

Існує багато способів інтерполяції. Кожен з них має свої переваги та недоліки. Тому спочатку ми ставимо задачу для вирішення, а потім вибираємо за допомогою якого способу і будемо інтерполювати дані.

 

В методичному посібнику ми розглянемо деякі способи інтерполяції, які можуть бути використані при побудові карт та наведемо приклади створення карт за допомогою цих методів.

 

2.1

Кригінг

Кригінг (за прізвищем південно-африканського геолога Д. Криге) – це геостатистичнийметод інтерполяції, що використовує статистичні параметри для більш точної побудови поверхонь. Це метод знаходження найкращої оцінки середньозваженого значення просторової змінної, з вагами, що забезпечують мінімум дисперсії оцінки (див. додаток А).

 

Завдання кригінгу:

§ Встановлення структури просторових даних;

§ Побудова поверхні, використовуючи значення варіограм та відомих вимірювань в окремих точках.

 

Мета кригінгу полягає в тому, щоб визначити значення невідомої реально визначеної функції, f, в пункті х*, враховуючи значення функції в деяких інших пунктах.

 

 

Опорним точкам біля даної точки присвоюються вагові коефіцієнти (λ).

 

 

1.Тріангуляція в режимі 2. Тріангуляція Делоне

NonEqAttr

Тріангуляція з лінійною інтерполяцією

Алгоритм створює трикутники проводячи лінії між точками даних. Початкові точки зв'язані таким способом що б уникнути перетинання граней. Цей метод - точний інтерполятор.

Кожен трикутник визначає площину над вузлами сітки, що знаходяться всередині трикутника з нахилом і підвищенням трикутника, визначеного трьома початковими точками даних, вони визначають трикутник. Всі вузли сітки всередині даного трикутника визначені трикутною поверхнею.

У кожній точці виходить значення шляхом вилучення даних з трикутника нижче точки. Тріангуляція з лінійною інтерполяцією працює найкраще, коли дані рівномірно розподілені над областю

·

передачу півтонів;

· тіні;

· освітлення;

· текстури поверхні.

При побудові тріангуляції виходять з принципу переходу від загального до окремого, від великих трикутників до більш дрібним. У зв'язку з цим тріангуляція підрозділяється на класи, що відрізняються точністю вимірювань і послідовністю їх побудови.

Тріангуляцію розглядують в двох напрямках:

1. тріангуляція полігональних областей;

2. тріангуляція набору точок.

 

Точковий опис поверхонь застосовують у тих випадках, коли поверхня дуже складна і не має гладкості, а детальне уявлення численних геометричних особливостей важливо для практики. До поверхонь такого роду можна віднести ділянки грунту, форми малих небесних тіл, мікрооб'єкти, зняті за допомогою електронного мікроскопа і інші утворення зі складною формою.

Серед методів тріангуляції для кінцевого набору точок, які задають поверхню, широко використовують метод Делоне.

Метод Делоне передбачає з'єднання між собою набору точок непересічними відрізками прямих ліній таким чином, щоб сформовані трикутники прагнули до рівнокутності.

Головна особливість – наявність режиму NonEqAttr, призначеного в першу чергу для тріангуляції рельєфу місцевості по вихідним ізолініях.

 

 

Етапи побудови кригінгу:

 

1. Розрахунок емпіричної варіограми для дослідження зв’язків між точками.

2. Підбір моделі (лінія за методом зважених найменших квадратів), що визначає просторову автокореляцію даних.

3. Створення матриць, що визначають вагові коефіцієнти значень.

4. Інтерполяція.

 

Варіограма - це функція, що пов'язує розбіжність точкових даних з відстанню між ними.

 

 
 

 

 


Розрахунок:

 

§ Евклідова відстань

§ Біннінг (точки на відстані 0-1 – перший бін, 1-2 – другий і т.д.)

§ Емпірична дисперсія

Емпірична варіограма – це графік, на якому по осі у відкладені значення варіограми, а по осі х – відстані.

Модель варіограми моделює тенденції експериментальної варіограми.

Використовується для знаходження ваг для кригінгу.

Види кригінгу:

§ Ординарний кригінг

§ Простий кригінг

§ Універсальний кригінг

§ Індикаторний кригінг

§ Вірогіднісний кригінг

§ Диз'юктовний кригінг

Крім того, окремо виділяється кокригінг.

Кригінг та кокригінг найбільш широко використовуються в геології та сейсмології, а також в гідрогеології, екології, дистанційному зондуванні.

Переваги:

§ Кригінг створює не тільки саму інтерпольовану поверхню, але й поверхні помилок та вірогідності інтерпольованих значень, що дозволяє оцінити точність отриманих результатів.

§ Може використовуватися для різних типів розподілення точок (даних) – як регулярних, так і випадкових.

§ Гнучкий, може бути як згладженим, так і жорстким.

Недоліки:

§ Відносно повільний (особливо кокрикінг), через потребу прийняття великої кількості рішень.

 

 

2.6 Тріангуляція с лінійною інтерполяцією

Тріангуляція (від лат. Triangulum - крикутник) - один з методів створення мережі опорних геодезичних пунктів і сама мережа, створена цим методом. Полягає в побудові рядів або мереж, трикутники примикають один до одного і визначають положення їх вершин в обраній системі координат (див. додаток F).

У кожному трикутнику вимірюють всі три кути, а одну з його сторін визначають з обчислень шляхом послідовного рішення попередніх трикутників, починаючи від того з них, в якому одна з його сторін отримана з вимірів. Якщо сторона трикутника отримана з безпосередніх вимірів, то вона називається базисної стороною тріангуляції. У рядах або мережах тріагуляціі для контролю і підвищення їх точності вимірюють більше число базисів або базисних сторін, ніж це мінімально необхідно.

Процес розбиття поверхні об’єктів на полігони отримав назву тесселяції.

Тріангуляція використовується для:

- визначення фігури і розмірів Землі методом градусних вимірювань;

- вивчення горизонтальних рухів земної кори;

- обгрунтування топографічних зйомок у різних масштабах та цілі;

- обгрунтування різних геодезичних робіт при вишукуванні, проектуванні та будівництві великих інженерних споруд, при плануванні та будівництві міст і т.д.

Алгоритм тріангуляції:

Системи синтезу реалістичних зображень повинні забезпечувати передачу всіх властивостей модельованого об'єкту:

· об'ємність;

· розташування;

де:

h – анізотропна, повторно виміряна відносна відстань від точки до вузла.

R2 – фактор згладжування, що визначається користувачем.

R2параметр – фактор згладжування, що визначається користувачем. Чим більше значення R2параметру, тим більш вираженими стають гірські вершини на створених математичних поверхнях, і навпаки, менші значення репрезентативні відображають топографію рівнин. Досі ще немає універсального методу обчислення оптимальної величини R2параметру.

Оптимальним значенням цього параметру є різниця середньою шаблонною відстанню і половиною середньої шаблонної відстані.

Використання RBF-методів:

Моделювання випадкових процесів;

Shape-from-shading (побудова TIN-моделей з множини точок);

Моделювання трьохвимірних об'єктів;

Побудова трьохвимірних поверхонь.

Переваги:

§ Метод RBF є інваріантним відносно структури вхідних даних;

§ Стабільність результуючої RBF, тобто відсутність різких перепадів, що зводиться в даному випадку до стійкості системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що в свою чергу залежить від вибору RBF.

 

Недоліки:

Згладжування значень у конкретних точках може призвести до невірного відображення моделі.

2.2 Локальна поліноміальна інтерполяція

Локальна поліноміальна інтерполяція створює поверхню по багатьом різним формулам, кожна з яких оптимізована для сусідніх точок. Метод локальної поліноміальної інтерполяції застосовується до прикладних даних, з варіантами для рівнянь 1, 2 або 3 порядку. Однак, замість того, щоб відповідати поліноміалу до всього набору даних, він пристосований до місцевого підмножині, визначеному вікном, як в моделі ковзного середнього значення (див. додаток В).

Форма сусідства, максимальне і мінімальне число точок, і конфігурація вікна пошуку можуть бути визначені користувачем. Значення обчислюються на основі величини функції відстані до точок як частки розміру вікна.

Найпростіший випадок - той, де переміщається вікно - коло, з радіусом R. Якщо відстань між точкою сітки (Хі, УІ) і точкою даних (x, y) в межах кола позначена Di, то величина Wi визначена як:

Wi = (1-Di / R )p ,

где p - визначена користувачем величина.

 

Функції, які є описані поліномами:

Порядок 1

F(X,Y)= a+bX+cY

Порядок 2

F(X,Y)= a+bX+cY+dXY+eX2+fY2

Порядок 3

F(X,Y)= a+bX+cY+dXY+eX2+fY2+gX2Y+hXY2+iX3+jY3

 

Величина значень даних функції з наближенням до вузла сітки збільшується, і зменшується з віддаленням від вузлів. Функція зважування залежить від еліпса пошуку, величини, і певної геометрії даних.

Крім того, як і в методі зворотного зваженого відстані, сусідні точки можуть бути враховані за їх відстані та їх розташування. Таким чином, локальна поліноміальна інтерполяція створює поверхні, які краще описують місцеві зміни.

На малюнку можна побачити, що сусідні точки задають місце розташування деякої передбачуваної середньої точці, і таким чином, створюють локалізації (сині контури).

У зображенні нижче, взято поперечний переріз даних піднесення. У першому зображенні, три сусідніх червоних

точки задають вірогідне місце розташування для синьої точки і поліноміала (червоної лінії). У другому зображенні, друга точка (жовта) передбачила іншим поліноміалом першого порядку. Це – дуже близько до першої точки, при цьому будуть використовуватися ті ж самі сусідні точки, що і в першому випадку, але величина їх значень буде трохи відмінна, таким чином поліноміал (синя лінія) теж трохи буде відрізнятися.

 

 

Гаусова функція:

 

Щільність розподілу Функція розподілу

ймовірностей

Нормальний розподіл (розподіл Ґаусса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності.

Нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількості пострілів характеризується саме нормальним розподілом.

 

Існують такі методи Радіальної базисної функції:

 
 


• Inverse Multiquadric:

Multilog:

• Multiquadratic:

• Natural Cubic Spline:

• Thin Plate Spline:

2.5

Радіальна базисна функція

Радіальна базисна функція (RBF) - це група різноманітних методів інтерполяції даних. Вважається одним з найбільш продуктивних методів створення гладких поверхонь (див. додаток Е).

Радіальні базисні функції визначають оптимальний набір частних значень, що виступають у ролі інтерполяторів вузлів сітки.

Всі методи RBF-функції є методами точної інтерполяції.

Підхід, заснований на розбитті простору колами або гіперсферами. Гіперсфера задається своїм центром і радіусом.

Радіальні елементи, що лежать в основі цього методу, реагують нелінійно на відстань від даної точки до "центру", відповідного цьому радіальному елементу. Поверхня відгуку радіального елементу є гауссовою функцією (колоколоподібної форми), з вершиною в центрі і пониженням по краях.

Колокол Ґаусса – графічне відображення нормального еміричного статистичного розподілу.

 

 

 

Цей процес триває, намагаючись вгадати місця розташування наступних точок. На зображеннях показані дві точки (помаранчева і коричнева), яка вгадала для того, щоб створити заключну поверхню. Помаранчева точка створена від поліноміала (зелена лінія) при використанні зелених сусідніх точок, і коричнева точка створена аналогічним чином від фіолетового поліноміала сусідніх фіолетових точок, відповідно.

 

 

У цих зображеннях, ще два поліноміала (жовта і сіра лінії) визначають місця розташування ще двох точок.

 

 

Цей процес продовжується до тих пір, поки не визначаться місця розташування всіх точок. У результаті виходить максимально оптимізована модель, яка представляє собою багаторазово обчислену поверхню.


 

Переваги:

§ Можливість створювати рівні поверхні і розпізнавати тенденції дальньої дії в наборі даних;

§ Використовується, коли набір даних містить дані короткого діапазону.

Недоліки:

§ Не досить точні розрахунки;

§ Чуттєві до сусідніх точок, тому завжди потрібно попередньо переглянути поверхню перед створенням шару.

 

 

Переваги:

§ для моделювання функціональних відносин між двома кількостями;

Недоліки:

§ функції основ є «не локальними», тобто дані з значенням x = x0, залежать від значення даних з x, далеким від x0.

У цій моделі, коли температура збільшена від x до x + 1 одиниць, очікувані зміни показника: a1 + a2 + 2a2x. Факт, що зміна показника залежить від x, робить стосунки нелінійними.

Взагалі, ми можемо моделювати очікуване значення як n - поліноміал даних, приводячи до загальної поліноміальної моделі регресу:

y = ao + a1x + a2x2 + a3x3 … + anxn +ε.

Ці моделі всі лінійні з точки зору оцінки, так як функція регресу лінійною в термінах невідомих параметрів a0, a1 .... Тому, для аналізу найменших квадратів, до обчислювальних і логічно виведеним проблем поліноміального регресу можна повністю звернутися, використовуючи методи багаторазового регресу. Це зроблено, розглядаючи x, x2, ... таким, що відмінними незалежними змінними в поліноміальної моделі регресу.

 

Інтерпретація

Хоча поліноміальна регресія – технічно спеціальний випадок багаторазового регресу, інтерпретація поліноміальної моделі регресу вимагає декілька різного формулювання. Часто, важко інтерпретувати індивідуальні коефіцієнти в поліноміальному придатному регрес, тому що основні Одночлен можуть бути високо корельованості. Наприклад, x і x2 мають кореляцію приблизно 0.97, коли x розподілений на інтервалі (0, 1). Хоча кореляція може бути зменшена при використанні ортогональних поліноміалов, взагалі більш інформативно розглянути дану функцію регресу як єдине ціле.

2.3 Метод Шепарда (метод зворотних зважених відстаней)

Найпростіша форма методу зворотніх зважених відстаней іноді називають «Метод Шепарда» (1968 Шепард). Цей метод заснований на припущенні, що чим ближче один до одного знаходяться вихідні точки, тим ближче їх значення.

Метод Шепарда - заснований на обчисленні вагових коефіцієнтів, за допомогою яких зважуються значення експериментальних Z-значень в точках спостережень при побудові інтерполяційної функції (див. додаток С).

Параметр Power (Ступінь) визначає, як швидко зменшуються вагові множники зі зростанням відстані до вузла мережі. При великих значеннях параметра Power точкам спостережень, більш близьким до розглянутого вузла мережі, присвоюються великі частки загальної ваги; при менших значеннях параметра Power ваги зменшуються більш плавно зі зростанням відстані до вузла мережі.

Вага, присвоєна окремій точці даних при обчисленні вузла мережі, пропорційний заданої ступеня (power) зворотного відстані від точки спостереження до вузла мережі. При обчисленні інтерполяційної функції в якомусь вузлі мережі сума усіх призначених ваг дорівнює одиниці, а ваговий коефіцієнт кожної експериментальної точки є часткою цього загального одиничного ваги. Якщо точка спостереження збігається з вузлом мережі, то ваговий коефіцієнт цієї точки вважається рівним одиниці, а всім іншим точкам спостереження присвоюються нульові ваги. Іншими словами, в цьому випадку вузлу мережі присвоюється значення відповідного спостереження, і, отже, даний метод працює як точний інтерполятор.

 

Переваги:

§ Досить швидкий метод побудови сіточних функцій, якщо чисто точок не перевищує 500, то сітка будується досить швидко.

Недоліки:

§ генералізація структури типу «биче око», навколо точок спостереження з великими значеннями функцій.

 

2.4 Поліноміальна регресія (Polynomial Regression)

Поліноміальна регресія - форма лінійного регресу, в якому відносини між незалежною змінною x і залежної змінної y змодельовані як n-поліноміал даних (див. додаток D).

Поліноміальна регресія відповідає нелінійним відносинам між значенням x і умовної середньої з y, позначають E (y | x), і використовують, щоб описати нелінійні явища: розподіл вуглецевих ізотопів у відкладеннях озера, розвиток епідемій.

Не дивлячись на те, що поліноміальна регресія відповідає нелінійної моделі даних, статистична проблема оцінки є лінійною, тобто функція регресії E (y | x) є лінійною серед невідомих параметрів даних. Тому поліноміальна регресія є окремим випадком багаторазового лінійного регресу.

Мета поліноміальної регресії полягає в тому, щоб моделювати нелінійні відносини між незалежними і залежними змінними (технічно, між незалежною змінною і умовної середньої з залежною змінною).

Мета поліноміальної регресії полягає в тому, щоб змоделювати значення залежної змінної у від незалежної змінної х:

y = ao + a1x + ε,

де ε –неспостережувана випадкова помилка.

У цій моделі, для кожної одиниці збільшуються значення x, умовне очікуване збільшення y, a 1 одиницями.

У багатьох параметрах, можливо, не тримаються такі лінійні відносини. Наприклад, якщо ми моделюємо показник хімічного синтезу в термінах температури, у якій має місце синтез, ми можемо сказати, що показник покращується, збільшуючи кількість для кожного збільшення одиниці температури. У цьому випадку, ми могли б запропонувати квадратну модель:

y = ao + a1x + a2x2 +ε.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!