Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Эмпирическая функция распределения



Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака . Введем обозначения: – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее ; – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события равна . Если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от . Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события . [3]

Итак, по определению,

,

где – число вариант, меньших ; – объем выборки.

Таким образом, для того, чтобы найти, например, , надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки:

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности, называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события , то есть , стремится по вероятности, к вероятности этого события. Другими словами, при больших , числа и мало отличаются одно от другого, в том смысле, что , . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. [3]

Такое заключение подтверждается и тем, что обладает всеми свойствами . Действительно, из определения функции вытекают следующие свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2) – неубывающая функция;

3) если – наименьшая варианта, то при ; если – наибольшая варианта, то при .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

 

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

варианты
частоты
       

Решение. Найдем объем выборки: . Наименьшая варианта равна 2, следовательно, при .



Значение , а именно , наблюдалось 12 раз, следовательно, , при .

Значения , а именно и , наблюдались раз, следовательно , при .

Так как – наибольшая варианта, то при .

Искомая эмпирическая функция:

[6]

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмма.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси координат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты . Точки соединяют отрезками прямы и получают полигон относительных частот. [7]

Пример.

1.5 3.5 5.5 7.5
0.1 0.2 0.4 0.3

 

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в -ый интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность частоты).



Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь -го частичного прямоугольника равна – сумме частот вариант интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервала, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь -го частичного прямоугольника равна – относительной частоте вариант, попавших в -й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Пример. Гистограмма объема :

Частичный интервал длиною Сумма частот вариант частичного интервала Плотность частоты
5–10 0.8
10–15 1.2
15–20 3.2
20–25 7.2
25–30 4.8
30–35 2.0
35–40 0.8

[6]


Список используемой литературы

1. Иванов В.С., Основы математической статистики, (Москва, 1998).

2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики, (Москва, 1998).

3. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика, (Москва, 2003).

4. Ширяев А.Н., Вероятность, (Наука, Москва, 1989).

5. Боровков А.А., Теория вероятностей, (Наука, Москва, 1986).

6. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Сборник задач по теории вероятностей, (Наука, Москва, 1989).

7. Кокс Э., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры, (Москва, 1984).

 

Министерство науки и образования РФ

ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Институт педагогики, психологии и социальных технологий

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине Математические методы в психологии

на тему: Генеральная совокупность и выборка

 

Выполнил: студент группы 3СБ-030300-41(К) Шеметова О.С Проверил: Сидоров К.В Фефилов А.В

 


Ижевск 2014

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!