Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Уравнения, допускающие понижение порядка



Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

. (0.9)

Искомое решение является функцией

,

зависящей от двух произвольных постоянных.

Если уравнение (0.9) не содержит искомой функции, то понизить порядок уравнения можно заменой

, .

Например, пусть требуется решить уравнение . Выполняя замену , , получим

, , , .

Возвращаясь к искомой функции, будем иметь

, .

Если уравнение не содержит независимой переменной, то понизить порядок можно заменой

, .

Пример: . Выполняя замену , , получим

.

Одним из решений этого уравнения является функция . Пусть : , .

Полученное решение включает функцию в качестве частного случая (соответствует значению ), поэтому отдельно рассматривать решение не нужно. Возвращаясь к искомой функции, получим

, , , .

Аналогично понижается степень в уравнениях вида .

Пример: . Первоначально выполним замену , . Получим .

Положим далее , , тогда

, , , ,

, , ,

,

откуда

,

.

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

, (0.10)

в котором и являются константами.

Если правая часть (0.10) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

 

(0.11)

 

; ;

. (0.12)

Полученное уравнение называется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2, то общее решение: .

Если уравнение (0.12) имеет два комплексно-сопряженных корня

, ,то общее решение: .

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

,

то общее решение .

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, однако для некоторых частных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид ,

где y0 – решение соответствующего однородного уравнения, yr – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

, .

Если a не корнем (c), то частное решение ищется в виде

.

Дифференцируя yr и подставляя результат в (a), получим:



,

,

. (0.13)

Так как a не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Поэтому обе части (0.13) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A1, A2, ... An. Общее решение будет иметь вид:

.

Пусть a является корнем (возможно, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (0.13) есть многочлен степени ниже n. Следовательно, уравнение (0.13) ни при каком Qn не будет тождеством. В этом случае решение yr ищется в виде:

a) – если a является одним из корней;

b) – если a является двукратным корнем.

Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид:

,

где и – многочлены.

Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, где ,

в противном случае оно ищется в виде

.

Решение типового задания

 

Задание 1.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

Умножим обе части уравнения на (-1)

Разделим переменные:

Интегрируем обе части равенства:

 

Воспользуемся формулой:

Ответ: общий интеграл дифференциального уравнения


Задание 2.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

 

Решение:

Заданное уравнение относится к однородным уравнениям I порядка

Применим подстановку , тогда .

Подставим в заданное уравнение:

Так как , тогда

Разделяем переменные: .

Интегрируем обе части равенства:

, тогда

Ответ: общий интеграл дифференциального уравнения

Задание 3.

Найти решение задачи Коши:

Решение:



Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением I порядка.

Применим подстановку Бернулли , тогда

Выносим uза скобки:

Пусть:

Разделяем переменные:

 

Интегрируем:

Тогда

Интегрируем:

Таким образом, если v=xи , тогда

или

Найдём частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=1 , где

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=1 , имеет вид

Ответ:

Задание 4.

Решить задачу Коши:

Решение:

Заданное уравнение - уравнение Бернулли

Применим подстановку

Получаем:

,

разделим обе части уравнения на (-x)

 

 

Полученное уравнение - линейное I порядка.

 

Воспользуемся методом Бернулли

 

 

Полагаем

 

Разделяем переменные:

 

 

Интегрируя, находим:

Интегрируем, находим , тогда

Найдём решение задачи Коши:

Ответ:

 

Задание 5.

 

Найти решение задачи Коши:

Решение:

Дифференциальное уравнение II порядка, не содержащее независимой переменной.

Данное уравнение допускает понижение порядка.

Применим подстановку

Уравнение примет вид

Разделяем переменные

Интегрируя получаем

По условию

,

т.е.

.

 

Найдем

Тогда

или

где

т.е.

Разделяем переменные

 

Интегрируя, получаем

Найдем , если

Получаем

 

или

Ответ:

 

 

Задание 6.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

а) Найдём решение соответствующего однородного уравнения:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения примет вид:

б) Найдём частное решение неоднородного уравнения:

Подставим в исходное уравнение и найдём коэффициенты A и В.

Разделим оба части уравнения на

Таким образом,

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Ответ:


Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

 

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

 

Задача 3. Найти решение задачи Коши

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

 

Задача 4. Найти решение задачи Коши

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

 

Задача 5. Найти решение задачи Коши

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

 

 

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29.

6.30.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1) Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

2) Дифференциальные уравнения первого порядка.

3) Задача Коши

4) Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степени.

5) Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

6) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

 

Литература

1 Владимирский, Б.М. Математика. Общий курс : учебник 2-е изд. испр. и доп./ Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. -СПб.: Лань, 2004. -960 с.

2 Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский.- М.: Наука, 2005- 352 с.

3 Шипачев, В.С. Высшая математика : учеб. для вузов/ В. С. Шипачев. -5-е изд.,стер.. -М.: Высш. школа, 2000. -479 с.

4 Воробьева, Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н. Воробьева, Д.Н. Данилова.- М., Высшая школа, 1990, 308 с.

5 Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты) / Л.А. Кузнецов.- М., Высшая школа, 1983, 175 с.

 

 

Содержание

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!