Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Теория вероятности и математическая статистика



Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборкефиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.



В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ и многочисленные нелинейные обобщения.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методамираспознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений:случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.



Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей . Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышевым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867 ). Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) , после которого стало ясным, что случайная величина представляет собойизмеримую функцию, определенную на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером

Случайные величины используются для математического представления таких сторон объектов, систем и событий, количественную характеристику которых до проведения опыта по их измерению, однозначно определить принципиально невозможно. Примером таких систем могут служить микроскопические объекты, состояние которых описывается квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). Следует также отметить, что существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определенные на подходящих вероятностных пространствах.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Определение

Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий в случае бросания игральной кости

Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием [6], то есть

— грань с одной точкой;

— грань с двумя точками;

...

— грань с шестью точками.

Множество всех граней образует пространство элементарных событий , подмножества которого называютсяслучайными событиями . В случае однократного подбрасывания игровой кости примерами событий являются

выпадение грани с нечётным количеством точек, то есть событие — это выпадение грани с одной точкой или грани с тремя точками, или грани с пятью точками). Математически событие записывается как множество, содержащее элементарные события: , и . Таким образом, ;

выпадение грани с чётным количеством точек, то есть событие — это выпадение грани с двумя точками или грани с четырьмя точками, или грани с шестью точками. Математически событие записывается как множество, содержащее элементарные события: , и . Таким образом, ;

Алгебра событий

Множество случайных событий образует алгебру событий , если выполняются следующие условия:

содержит пустое множество .

Если событие принадлежит , то и его дополнение принадлежит . С помощью кванторов это записывается так: .

Если и принадлежат , то их объединение также принадлежит . С помощью кванторов это записывается следующим образом .

Если вместо третьего условия удовлетворяет другому условию: объединение счётного подсемейства из также принадлежит , то множество случайных событий образует σ-алгебру событий.

-алгебра событий является частным случаем σ-алгебры множеств.

Самая маленькая среди всех возможных -алгебр, элементами которой являются все интервалы на вещественной прямой, называется борелевской σ-алгеброй на множестве вещественных чисел .

Вероятность

Если каждому элементарному событию поставить в соответствие число , для которого выполняется условие:

,

то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность события как счётного подмножества пространства элементарных событий определяется как сумма вероятностей тех элементарных событий, которые принадлежат этому событию. Требование счётности важно, так как иначе сумма будет не определена.

Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым множеством, то его вероятность равна нулю:

.

Если событием является пространство элементарных событий, то его вероятность равна единице:

.

Вероятность события (подмножества пространства элементарных событий) равна сумме вероятностей тех элементарных событий, которые включает в себя рассматриваемое событие.

Определение случайной величины

Случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на [9].

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество событий , таких что , принадлежит .

Классификация

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Методы описания

Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения,плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

где

символ " " обозначает факториал,

— основание натурального логарифма.

Условная вероятность

Формула Байеса

Вероятность наступления события , при условии наступления события , называется условной вероятностью (при данном условии) и обозначается . Наиболее просто вывести формулу определения условной вероятности исходя из классического определения вероятности. Для данных двух событий и рассмотрим следующий набор несовместных событий: , которые исчерпывают все возможные варианты исходов (такой набор событий называют полным — см. ниже). Общее количество равновозможных исходов равно . Если событие уже наступило, то равновозможные исходы ограничивается лишь двумя событиями , что эквивалентно событию . Пусть количество этих исходов равно . Из этих исходов событию благоприятствуют лишь те, что связаны с событием . Количество соответствующих исходов обозначим . Тогда согласно классическому определению вероятности вероятность события при условии наступления события будет равна , разделив числитель и знаменатель на общее количество равновозможных исходов и повторно учитывая классическое определение, окончательно получим формулу условной вероятности:

.

Отсюда следует так называемая теорема умножения вероятностей:

.

В силу симметрии, аналогично можно показать, что также , отсюда следует формула Байеса:

Независимость событий

События A и B называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило ли другое событие. С учетом понятия условной вероятности это означает, что , откуда следует, что для независимых событий выполняется равенство

В рамках аксиоматического подхода данная формула принимается как определение понятия независимости двух событий. Для произвольной (конечной) совокупности событий их независимость в совокупности означает, что вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

Выведенная (в рамках классического определения вероятности) выше формула условной вероятности при аксиоматическом определении вероятности является определением условной вероятности. Соответственно, как следствие определений независимых событий и условной вероятности, получается равенство условной и безусловной вероятностей события.

Полная вероятность и формула Байеса

Набор событий , хотя бы одно из которых обязательно (с единичной вероятностью) наступит в результате испытания, называется полным. Это означает, что набор таких событий исчерпывает все возможные варианты исходов. Формально в рамках аксиоматического подхода это означает, что . Если эти события несовместны, то в рамках классического определения это означает, что сумма количеств элементарных событий, благоприятствующих тому или иному событию, равно общему количеству равновозможных исходов.

Пусть имеется полный набор попарно несовместных событий . Тогда для любого события верна следующая формула расчета его вероятности (формула полной вероятности):

Тогда вышеописанную формулу Байеса с учетом полной вероятности можно записать в следующем виде:

Данная формула является основой альтернативного подхода к вероятности — байесовского или субъективного подхода .

 

Мишени,мишенное поле.

Мишень

искусственная цель, имитирующая наиболее характерныепризнаки реальной цели: размер, форму, цвет, иногда материал, способ и скорость передвижения и др. М.подразделяются на наземные, воздушные (неуправляемые и управляемые), морские (самоходные,буксируемые и неподвижные), спортивные, баллистические и др.

Мишенное поле

подготовленный для проведения боевой стрельбы и другихтактических занятий участок местности, на котором создаётся мишенная обстановка и размещаютсямишенные установки для показа (движения) целей и имитации их огня; приспособления для освещенияцелей ночью; электрические линии питания и связи; укрытия для силовых агрегатов и операторов;декоративные сооружения н ориентиры.

 

Сравнительные испытания это - Испытания аналогичных по характеристикам или одинаковых объектов, проводимые в идентичных условиях для сравнения характеристик их свойств

Как отмечает Международная организация законодательной метрологии «метрология – основа качества производимых товаров и процессов». Метрологии принадлежит ключевая роль в деле развития научного и технического прогресса, при проектировании и эффективном производстве продукции в соответствии с нуждами потребителей, а также в процессе обнаружения и предотвращения несоответствий. Метрология фундаментальным образом поддерживает здравоохранение, является условием обеспечения безопасности и охраны окружающей среды, производства пищевых продуктов. В условиях глобального рынка метрология также создает основу для честной внутренней и международной торговли.

 

Значение результатов измерений постоянно возрастет из-за быстрого развития технологий и возникновения информационного общества. Потребителям и промышленности приходится ежедневно принимать решения, основанные на результатах измерений и влияющие на их экономику и личную жизнь.

 

Необходимость взаимного признания результатов измерений в рамках международной системы оценки соответствия привела к подписанию 28 октября 2007 г. Меморандума о взаимопонимании между Международной кооперации по аккредитации лабораторий (ИЛАК), Международный форум по аккредитации (ИАФ) и Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ). Достигнутые договоренности представляют собой (как отмечено в Меморандуме) единую и основополагающую базу для прозрачной и надежной инфраструктуры измерений и испытаний в достижении соответствия объекта оценки соответствия (продукции, товаров) предписанным спецификациям.

Поставщиками результатов измерений являются испытательные и калибровочные лаборатории, компетентность и беспристрастность которых подтверждается путем аккредитации.

 

Одним из критериев компетентности лабораторий и подтверждения достоверности выдаваемых лабораториями результатов измерений является участие лабораторий в программах проверках квалификации (proficiency testing) посредством межлабораторных сравнительных испытаний (interlaboratory comparisons).

Под проверкой квалификации лабораторий понимают оценку деятельности лабораторий по предварительно установленным критериям путем межлабораторных сравнительных испытаний.

 

Межлабораторными сравнительными испытаниями называют организацию, выполнение и оценку измерений или испытаний одних и тех же или аналогичных образцов в двух или более лабораториях в соответствии с заданными условиями. (ИСО/МЭК 17043:2010).

 

В России внедрение проверок квалификации лабораторий, осуществляющих испытания веществ и материалов по составу и физико-химическим свойствам, под руководством Федерального органа исполнительной власти (Госстандарта России) начато в 1998–1999 гг. Определен научно-методический центр по организации и проведению МСИ (НМЦ МСИ) – УНИИМ (приказы Госстандарта России от 19.07.1999 г. № 301, Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 09.03.2005 г. № 260, Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 20.12.2011 г. № 6390 ).

 

Основные элементы деятельности по проверке квалификации стандартизованы. Действуют (находятся в стадии разработки) национальные нормативные документы , касающиеся вопросов проверки квалификации.

 

Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии признает в установленном порядке компетентность провайдеров проверок квалификации лабораторий посредством МСИ – юридических лиц, ответственных за реализацию проверок квалификации. В целях проведения работ по проверке компетентности организаций, претендующих на признание их в качестве провайдеров проверок квалификации, утверждена Рабочая комиссия по проверке компетентности провайдеров. Признанные провайдеры внесены в реестр.

 

Ежегодно Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии утверждает план проверок квалификации лабораторий посредством межлабораторных сравнительных испытаний (МСИ) состава и свойств веществ (материалов) и объектов окружающей среды, формируемый НМЦ МСИ и включающий в себя проверки квалификации, проводимые признанными компетентными координаторами. Публикацию плана осуществляет журнал «Методы оценки соответствия».

План проверок проведения проверок квалификации лабораторий посредством межлабораторных сравнительных испытаний (МСИ) состава и свойств веществ (материалов) и объектов окружающей среды в 2012 г. .

 

В программах проверки квалификации ежегодно участвуют от 1000 и более лабораторий различного профиля: ЦСМ, санитарно-эпидимиологического надзора, ветеринарных, пищевой промышленности, хлебных инспекций, государственных центров агрохимической службы, Госсельхознадзора, таможенных, нефтеперерабатывающих заводов, газо- и нефтедобывающих компаний, транспортирующих газ и нефть компаний, государственных университетов и научно-исследовательских институтов, санитарно-промышленных, охраны труда, металлургических предприятий, клинико-диагностических, независимых и др.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!