Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции



Определение. Переменная величина y называется функцией переменной x (обозначается ), если каждому значению x соответствует определенное значение - число y.

Совокупность значений независимой переменной x, для которых определяются значения зависимой переменной y (т.е. значения функции y = f(x)) называется областью определения функции (или областью существования функции) и обозначается - Д.

Совокупность значений y, соответствующих всем значениям , называется областью изменения функции и обозначается - Е.

Функция может быть задана различными способами.

1. Табличныйспособ задания функции заключается в составлении таблицы

в которой заданным значениям независимой переменной x ставятся в соответствие определенные значения функции y.

2. ГрафическийФункция задается в виде графика (рис. 2).

3. Аналитическийспособ. Функция задается в виде формулы, например:

Функция называется элементарной, если она задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.

Основными элементарными функциями называются:

Пример элементарной функции:

Пример неэлементарной функции:

Определение.Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = f(x) при всех , называется четной функцией.

Определение.Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = - f(x) при всех , называется нечетной функцией.

Например: функции y = x2, y = cosx - четные, а y = x3, y = sinx - нечетные.

Определение.Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если существует число T > 0 такое, что y(x + T) = f(x) для всех

Например:y = sinx - периодическая функция с периодом T = 2π.

Определение.Пусть функция z = φ (x) определена в некоторой области Д, а функция y = f(x) определена для всех x в области X, при этом все y = f(x) лежат в области Д. Тогда переменная z через посредство y и сама является функцией от x: z = φ [f(x)], . Полученная функция от функции называется сложной функцией.

Пример. - сложная функция, так как где U = sinx. При этом x таков, что (область определения функции )

Предел функции

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |xa| < δ, xa, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.



Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

Одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.



.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Замечательные пределы

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!