Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей



Собрав по разные стороны знака равенства переменные уit и хjt и ошибки eit, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n; представим общий вариант системы взаимозависимых уравнений в следующем виде:

 

 

где aik и bij – коэффициенты i-го уравнения при переменных уkt и xjt соответственно; k, i=1, 2,..., т; j=0, 1,..., n; X0º0.

Взаимозависимые переменные у1, у2,..., уm обычно называют эндогенными, подчеркивая тем самым, что их расчетные значения определяются на основании модели (8.9). Переменные х1,..., хп называются экзогенными. Их значения задаются только в качестве исходных данных и в системе (8.9) они не рассчитываются.

Для ошибок системы (8.9) будем считать справедливыми предположения типа (8.3), т. е. M[eit]=0; cov(eit, ei,t-k)=0; k=1, 2,...; Но при этом ошибки отдельных уравнений могут быть взаимозависимыми, что выражается соотношением

 

 

которое может быть справедливым для некоторых i и j .

Кроме того, в системе (8.9) предполагается, что экзогенные переменные xj, j=1,2,..., n; и ошибки уравнений ei, i=1, 2,..., т; независимы.

Исходными данными при построении модели (8.9) являются зафиксированные в моменты времени t=1,2....,Т значения эндогенных переменных уit и экзогенных переменных хjt, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n.

Для произвольного момента t система (8.9) может быть записана в следующей векторно-матричной форме:

 

А× уt+В×хt=et, (8.11)

 

где уt=[у1t, у2t,..., уmt]¢ – вектор-столбец наблюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; хt=[1, х1t,..., хпt]¢ – вектор-столбец наблюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; et=[e1t,..., eпt]¢ – вектор-столбец значений ошибок уравнений в момент t; А, В – матрицы коэффициентов aik и bij модели при переменных уit и хjt соответственно. Матрица А имеет размерность т´т, а матрица Вт´(п+1).

А = В = (8.12)

 

Развернутую и векторно-матричную формы (8.9) и (8.11) системы эконометрических уравнений называют структурной формой модели. В отличие от нее можно сформировать так называемую “приведенную” форму модели, в которой значения переменных уit выражаются только через экзогенные переменные хjt. Векторно-матричное уравнение приведенной формы записывается в следующем виде:

 

уt=С×хt+иt, (8.13)

 

где С – матрица коэффициентов приведенной формы размера т´(п+1); иt=[и1t,..., ипt]¢ – вектор-столбец ошибок приведенной формы.



Таким образом, уравнения, входящие в приведенную систему (8.13), по своему виду похожи на традиционные эконометрические модели с одной зависимой переменной уit и независимыми факторами х1t, х2t,..., хпt. Развернутая форма приведенной системы (8.13) может быть представлена в следующем виде:

 

 

Вообще говоря, приведенная форма системы эконометрических уравнений типа (8.13) может быть сформирована только при условии невырожденности матрицы А. В самом деле, из условия равенства столбцов уt в системах (8.11) и (8.13) непосредственно вытекает, что показатели приведенной формы выражаются через показатели структурной формы следующим образом:

 

С =–А–1×В, иt=А–1×et. (8.15)

 

Поскольку экзогенные переменные хjt, j=1, 2,..., n; и ошибки eit, i=1, 2,..., т; статистически независимы, то оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными, несмотря на достаточно сложную структуру ошибок иit. Из выражения (8.15) следует, что ошибки иkt являются линейными комбинациями ошибок eit, k, i=1, 2,..., т. Для них справедливо следующее соотношение:

 

 

где коэффициенты aki являются элементами k-й строки матрицы А–1.

Из выражений (8.14) и (8.16) непосредственно также следует, что любая эндогенная переменная уkt, k =1, 2,..., т; статистически взаимосвязана с ошибками всех моделей системы (8.1), поскольку ошибки иkt являются линейными комбинациями ошибок eit.

Точно так же, как и для системы (8.1), можно доказать, что и в общем случае системы (8.9) и ее векторно-матричного аналога (8.11), ее характерной чертой является наличие статистических взаимосвязей между эндогенными переменными уkt, входящими в правую часть i-го уравнения этой системы, и его ошибкой eit. Для переменной y2t, например, это несложно сделать, подставив во второе уравнение системы вместо переменной y1t, определяющее ее первое уравнение системы. В результате получим следующее выражение:



 

 

свидетельствующее о том, что переменная y2t и ошибка e1t взаимосвязаны друг с другом.

В выражении (8.17) представляет собой новую линейную форму, отражающую зависимость переменной y2t от всех других факторов, входящих в модель, после подстановки первого уравнения системы во второе, и приведения подобных членов.

Аналогичным образом, подставляя во второе уравнение системы (8.9) третье, четвертое и т. д. т-е уравнение, увидим, что переменная y2t взаимосвязана с ошибками e3t, e4t,..., emt и ее вхождение в правую часть этих уравнений в качестве независимого фактора в случае использования МНК влечет за собой смещение оценок их параметров.

Точно также можно показать наличие взаимосвязей и между другими эндогенными переменными, рассматриваемыми в уравнениях системы (8.9) в качестве независимых факторов, и ошибками этих уравнений.

При сопоставлении структурной и приведенной форм системы (8.11) следует иметь в виду, что при заданном составе эндогенных и экзогенных переменных приведенная форма является единственной, определенной матричным уравнением (8.13). В то же время структурная форма вытекает из содержательных предпосылок, лежащих в основе модели, отражающих эмпирический опыт, интуицию исследователя, то или иное направление экономической теории. Вследствие этого, даже при известном составе эндогенных и экзогенных переменных в общем случае может существовать множество структурных форм, каждая из которых определяется специфическими соотношениями включенных переменных, в свою очередь, отражающими определенные варианты содержательных предпосылок системы (8.9).

Можно показать, что некоторые из этих форм взаимосвязаны между собой. Предположим, что существует невырожденная матрица F размера т´т. Умножим выражение (8.11) слева на эту матрицу. В результате имеем

 

F×А×уt+F×В×хt=F×et. (8.18)

 

Обозначив F×А=А1, F×В=В1, F×et=et¢, получим новую структурную форму А1×уt+В1×хt=et¢. В частности, приведенная форма (8.13) получена при условии, что F = А–1.

Преобразуем новую структурную форму (8.18) в приведенную. Для этого умножим это выражение слева на матрицу (F×А)–1.

В результате получим следующее выражение:

 

(F×А)–1×(F×Ауt+(F×А)–1×F×В×хt=(F×А)–1×F×et, (8.19)

 

которое с учетом правила умножения обратных матриц ((F×А)–1 =А–1×F–1) преобразуется к уже известной системе (8.13).

 

уt=–А–1×В×хt+иt.

 

Выражения (8.18) и (8.19) формально доказывают единственность приведенной формы и множественность структурных форм для заданного состава эндогенных и экзогенных переменных.

Заметим, что структурная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей (8.11) может быть представлена и в более компактной форме записи

 

D×zt=et , (8.20)

 

где вектор zt размера (т+п) объединяет векторы уt и хt , а матрица D размера т´( т+п) объединяет матрицы А и В.

 
 


уt

zt = хt , D = [А В], (8.21)

 

где [А В] – матрица, образованная построчным присоединением матрицы В к матрице А. Таким образом, она содержит т строк и т+п+1 столбец. Кроме того, заметим, что и структурная форма (8.11) и приведенная форма (8.9) сформированы для каждого из текущих индексов t. В общем виде, развернув каждую из переменных по индексу t, структурную форму (8.11) можно представить в следующем виде:

А×Y +В×X =S , (8.22)

 

где Y и X представляют собой матрицы размера Т´т и Т´( п+1) соответственно:

Y= Х =

 

а матрица S размера Т´т объединяет ряды ошибок eit, i=1, 2,..., т; t=1, 2,..., T:

S=

 

В ряде литературных источников можно встретить чуть более привычное развернутое представление системы (8.11), в котором элементы матриц А и В сформированы в виде векторов, состоящих из т2 и т´(п+1) компонент соответственно. Тогда общий вид этой системы определяется следующим выражением:

 

Y ×А1+X×В1=e, (8.25)

 

где Y – блочно-диагональная матрица размера (Т× т´ т2) вида

 
 


Y=

 

X – блочно-диагональная матрица размера (т×Т´(n+1)×т) вида

X=

 

и матрицы Y и X определены выражением (8.23); А1 и В1 – вектора коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных:

А1 = В1=

e – вектор ошибки, состоящий из Т´ т компонент:

e=

 

Выражения (8.22) и (8.25) представляют собой альтернативные формы записи общего вида системы (8.11), в которых фигурирует весь состав эндогенных и экзогенных переменных. Вместе с тем, как это было видно из рассмотренных выше примеров, в конкретных системах взаимосвязи между отдельными переменными могут либо отсутствовать, либо быть определены заранее. Например, в системе (8.1) в первом уравнении не присутствует экзогенная переменная It. В системе (8.6) уже известны коэффициенты балансового соотношения при эндогенной переменной Сt и экзогенной переменной Zt. Они оба равны единице. В этих случаях на соответствующих местах в матрицах А и В (выражение (8.25)) должны стоять либо нули (при отсутствии в уравнении соответствующей переменной), либо известные значения коэффициентов.

Между коэффициентами структурной формы могут иметь место и более сложные взаимосвязи (например, в виде алгебраических соотношений, типа равенств). вытекающие из предпосылок экономической теории. Так, известная функция Кобба-Дугласа часто рассматривается с учетом условия a1+a2=1. Эти ограничения, как это будет показано далее, играют существенную роль при оценке коэффициентов систем взаимозависимых эконометрических моделей.

Рассмотрим некоторые примеры систем взаимозависимых эконометрических моделей, которые использовались в исследованиях реальных процессов, и соответствующие им структурные и приведенные формы.

Пример 8.1.

Для исследования динамики цен и потребления электроэнергии, формирования на основе выявленных закономерностей рациональной политики в сфере электроснабжения в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений, по содержанию эндогенных переменных похожая на систему (8.1):

 

где aikи bij– коэффициенты системы (8.30), помеченные “штрихом”, чтобы выделить отличие их знаков от соответствующих коэффициентов структурной формы;

y1=lnY1и Y1– среднегодовое количество электроэнергии в расчете на одного потребителя;

y2=lnY2и Y2– цена за единицу потребляемой электроэнергии;

х1=lnХ1и Х1– годовой доход в расчете на одного человека;

х2=lnХ2и Х2– средняя цена за потребляемый жилищным комплексом газ;

х3=lnХ3и Х3– количество теплых дней в году;

х4=lnХ4и Х4– средняя температура июля;

х5=lnХ5и Х5– процент населения, проживающего в сельской местности;

х6=lnХ6и Х6– средний размер домохозяйства;

х7=lnХ7и Х7– стоимость рабочей силы (заработная плата);

х8=lnХ8и Х8– процент энергии, произведенной акционерными коммунальными предприятиями;

х9=lnХ9и Х9– расход топлива на один киловатт-час электроэнергии;

х10=lnХ10и Х10– отношение количества промышленных предприятий, продающих электроэнергию, к количеству аналогичных территориальных компаний;

х11=lnХ11и Х11– временной фактор.

Исходные данные для модели (8.18) имеют пространственно-временную структуру. Они отражают уровни рассматриваемых процессов по 48 штатам за 9 лет. При этом отметим, что время являлось одним из факторов модели, аккумулирующим аспекты потребления электроэнергии, связанные с научно-техническим прогрессом. Таким образом, индекс t в системе (8.18) соответствует порядковому номеру набора, t=1,2,..., T; T = 48´9.

Первое уравнение определяет зависимость количества потребляемой электроэнергии от цены и показателей, отражающих особенности потребительского рынка в регионах в соответствующий год.

Во втором уравнении уже цена за электроэнергию ставится в зависимость от объемов ее производства (при условии, что производство равно потреблению) и ряда других факторов, влияющих на цену.

Структурная форма системы (8.30) в соответствии с выражениями (8.9), (8.11), (8.12) характеризуется следующими векторами и матрицами:

 

уt =[y1t , y2t ]¢ ; xt =[1, x1t , x2t ,..., x11,t ]¢ ;

 
 


А= В =

 

aik =–aik¢; bij =–bij ¢; k, i=1,2; j=0,1,2,...,11.

 

Отметим, что в матрице В в первой и второй строках нулевые элементы стоят на местах факторов, которые отсутствуют в соответствующем уравнении системы (8.30).

Приведенная форма системы (8.30) может быть представлена следующей системой уравнений:

 

 

которая, в свою очередь, в векторно-матричной форме выражается уравнением (8.13) с матрицей С следующего вида:

 

С=

 

Заметим, что в выражении (8.31) на коэффициенты gij, i=1,2,...; j=0,1,...,11; не накладывается никаких ограничений. В частности, не требуется равенства нулю тех коэффициентов, которые были равны нулю в структурной форме.

Пример 8.2.

Для анализа закономерностей и пропорций государственных расходов и федеральных субсидий в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений:

 

 

где y1t – государственные расходы, производимые на местном уровне в штате t;

y2t – уровень федеральных субсидий в t-м штате;

х1t – доход t-го штата;

х2t – численность населения, проживающая в t-м штате;

х3t – численность учащихся в школах 1-й и 2-й ступеней в t-м штате.

В данном случае индекс t характеризует номер штата и исходная информация имеет пространственный характер. Она была собрана за один год. Однако эта информация может иметь и пространственно-временной характер, как в предыдущем примере.

Первое уравнение описывает распределение государственных расходов по административным территориям, в зависимости от уровня федеральных субсидий, дохода самих территорий и численности проживающего населения.

Во втором уравнении уже федеральные субсидии территориям рассматриваются как зависимая переменная, на уровень которой влияют государственные расходы и численность учащихся в школах 1-й и 2-й ступеней, являющихся основными “потребителями” этих субсидий.

Целесообразность формирования такой системы связана с тем, что федеральные субсидии и правительственные расходы зачастую направляются на одни и те же программы, как бы “конкурируя” друг с другом. Увеличение одной переменной обычно влечет за собой снижение уровня другой.

Матрицы структурной формы модели (8.32) имеют следующий вид:

 

А= В =

 

aik =aik¢; bij =–bij¢; k, i=1,2; j=1,2,3.

Приведенная форма модели (8.32) может быть представлена следующей системой уравнений:

 

 

где коэффициенты gij в общем случае не являются тождественными нулями, i=1,2; j=1,2,3.

Пример 8.3.

Примером системы взаимозависимых эконометрических моделей, включающей в себя балансовые соотношения, является так называемая модель Людеке, разработанная для описания макроэкономических процессов на уровне государства. Она может быть представлена в следующем виде:

 

 

где y1t – уровень потребления в году t; y1,t–1=х1t;

y2t – инвестиции;

y3t – импорт, y3,t–1=х3t;

y4t – национальный доход;

х2t – доход от предпринимательской деятельности в прошедшем периоде, т. е. в t–1;

х4t – государственные расходы плюс государственные чистые инвестиции в основной капитал плюс изменения в товарных запасах плюс субсидии минус косвенные налоги;

х5t – экспорт.

Первое уравнение системы (8.34) описывает динамику потребления с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от произведенного в государстве дохода; второе – динамику инвестиций как функцию от национального дохода и дохода, полученного в прошлом году в результате предпринимательской деятельности; третье – динамику импорта с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от национального дохода и последнее уравнение представляет собой балансовое соотношение, характеризующее распределение национального дохода на основные составляющие.

Система (8.34) содержит четыре эндогенные переменные и пять экзогенных, в число которых входят две запаздывающие эндогенные переменные y1,t–1 (потребление прошлого года) и y3,t–1 (импорт прошлого года) и одна запаздывающая чисто экзогенная переменная х2(доход от предпринимательской деятельности прошлого года), которая однако рассматривается как незапаздывающая, поскольку переменная х2t в модели отсутствует.

Взаимозависимый характер модели (8.34) придает вхождение в правые части первых трех уравнений переменной, выражающей национальный доход, которая, в свою очередь, представлена балансовым соотношением. В результате переменная y4t оказывается статистически взаимосвязанной с ошибками уравнений e1t, e2t и e3t, что является причиной несостоятельности МНК (смещенности оценок коэффициентов первых трех уравнений системы в случае использования этого метода).

Структурная форма модели (8.34) характеризуется следующими векторами и матрицами:

 

уt = [y1t , y2t , y3t , y4t ]¢, xt =[1, х1t , х2t , х3t , х4t , х5t ],

 

где х1t=y1,t–1; х3t=y3,t–1;

 
 


А = В =

 

Заметим, что приведенная форма системы (8.34) должна определяться уравнениями, в правых частях которых нет незапаздывающих эндогенных переменных, а запаздывающие рассматриваются как незапаздывающие экзогенные переменные. С учетом этого замечания данная форма может быть представлена в следующем виде:

 

 

Обратим внимание на то, что при отсутствии автокорреляции во временных рядах ошибок иit (см. условие (8.3)) запаздывающие эндогенные переменные уi, t–1 и ошибки иit являются статистически независимыми и эти переменные можно рассматривать в приведенной форме как экзогенные.

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что матрицы А и В, образующие структурную форму системы взаимозависимых эконометрических моделей, часто содержат некоторое количество известных (преопределенных) элементов. В то же время матрица С из приведенной формы содержит только неизвестные элементы. Их количество соответствует числу экзогенных переменных модели.

Приведенная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей играет важную роль в решении проблемы получения несмещенных оценок коэффициентов структурной формы этой системы. Эта проблема более подробно рассматривается в следующих разделах этой главы.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!