Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 2 Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах



2.2.1Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадает ли область определения оператора А с нормированным пространством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из D(A) в Y?

 

Х Y A
2.2.1.1
2.2.1.2
2.2.1.3 R
2.2.1.4
2.2.1.5 C
2.2.1.6

 

 

2.2.2 Доказать, что оператор умножения А: Х Y является линейным ограниченным, и найти его норму.

 

Х Y A
2.2.2.1
2.2.2.2
2.2.2.3
2.2.2.4
2.2.2.5
2.2.2.6

 

 

2.2.3 Доказать, что диагональный оператор, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму.

Х Y A
2.2.3.1
2.2.3.2
2.2.3.3
2.2.3.4
2.2.3.5
2.2.3.6

2.2.4 Доказать, что оператор замены переменной, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму.

 

Х Y A
2.2.4.1
2.2.4.2
2.2.4.3
2.2.4.4
2.2.4.5
2.2.4.6

 

 

2.2.5 Доказать, что интегральный оператор, действующий из X в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму.

 

Х Y A
2.2.5.1
2.2.5.2
2.2.5.3
2.2.5.4
2.2.5.5
2.2.5.6

 

 

2.2.6 Для последовательности операторов X,Y Norm и установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А.

 

Х Y А
2.2.6.1
2.2.6.2
2.2.6.3
2.2.6.4
2.2.6.5
2.2.6.6 Ax=x

 



 


Примеры решения задач

1Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадает ли область определения оператора А с нормированным пространством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из D(A) в Y?

Пример 1 .

Решение. Если , то := . В силу неравенства Коши-Буняковского

. (1)

Отсюда следует, что . Поэтому D(A)=X.

Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, ). Исследуем его на непрерывность. Для любой точки оценим расстояние

(мы воспользовались числовым неравенством , а затем неравенством (1)). Поэтому получаем при что . Значит, оператор A непрерывен на .

Пример 2 .

Решение. В этом примере D(a)≠X, так как , но (в обоих случаях сходимость ряда исследуется с помощью интегрального признака; проделайте это). Очевидно, A является линейным оператором, поэтому исследование непрерывности равносильно исследованию ограниченности. Докажем, что A не является ограниченным. Допустим противное, то есть что . При последнее неравенство примет вид

, т.е. .

Поскольку частичные суммы ряда не являются ограниченными, мы пришли к противоречию. Значит, A не является непрерывным.

 

Пример 3 .



 

Решение. Здесь D(A)≠X, так как последовательность но . Далее, оператор A не является линейным (как в примере 1). Докажем, что он не является непрерывным. Действительно, возьмём следующую последовательность точек из :

.

Тогда в , так как

при .

В то же время

.

Таким образом, из того, что , не следует, что . Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на D(A).

 

Пример 4 .

 

Решение. Очевидно, что D(A) X и что A - нелинейный. Покажем, что A не является непрерывным в нуле. Возьмём последовательность из C[0;1]. Она сходится к 0, так как при n→∞. Но в то же время

при n→∞.

Т.е. из того, что , не следует, что Значит, A не является непрерывным на D(A).

 

 

2 Доказать, что оператор является линейным ограниченным, и найти его норму.

 

а) Оператор умножения, действующий из X в Y.

 

Пример 1 .

 

Решение. Ясно, что A линейный.

Так как

, (2)

то A ограничен с константой ограниченности 1/2. А так как норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то .

Докажем теперь противоположное неравенство, т.е. что . Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор х0, для которого неравенство (2) превращается в равенство.Возьмём . Тогда, как легко подсчитать, .А так как , то . Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что .

 

б) Диагональный оператор, действующий из в .

 

Пример 1 .

 

Решение. Ясно, что A - линейный оператор. Так как

,

то оператор A ограничен, причем . Возьмём . Тогда . Значит, (почему?). Из полученных неравенств следует, что .

 

Пример 2 .

 

Решение. Оператор A - линейный. Докажем неравенство ограниченности:

. (3)

Значит, оператор А ограничен, причем .

В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (3) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (3) мало отличались друг от друга. Возьмём (единица стоит на 2k-м месте). Тогда имеем , откуда (см. решение примера 1). Ввиду произвольности k отсюда следует, что . Окончательно получаем, что .

 

 

в) Оператор замены переменной.

 

Пример 1 .

Решение. Oчевидно, оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

, (4)

поскольку, как легко проверить, =1/4. Следовательно, . Далее, так как при неравенство (4) превращается в равенство, то (см. решения предыдущих примеров). Итак, .

Пример 2 .

 

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

= (5)

(мы воспользовались тем, что ). Значит, .

Как и в примере 2 пункта б, не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) мало отличались друг от друга. Возьмём последовательность , состоящую из функций, сосредоточенных в окрестности точки z =1 и таких, что . Тогда

.

Значит, . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Воспользовавшись тем, что при , получим:

.

Из полученных неравенств следует, что .

 

 

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

 

Пример 1 .

Решение. Из свойства линейности интеграла следует, что А – линейный оператор. Далее,

. (6)

Значит, оператор А ограничен, причем . Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при x(t)=sgn(t), но эта функция не принадлежит C[-1;3]. Возьмем следующую последовательность функций из C[-1;3], которые «похожи» на sgn(t) при больших n (сделайте чертеж):

.

Легко видеть, что в . Вычислим в . Так как функция - четная на [-1;1], то

.

Значит, , а потому . Окончательно получаем, что .

 

 

3Для последовательности операторов X,Y Norm и установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А.

 

Пример 1

Решение. 1) Заметим, что .

при

как остаток сходящегося ряда. Значит, последовательность сходится поточечно (т.е. сильно) к оператору А.

2) Воспользуемся тем, что .

Возьмем (единица стоит на -м месте). Тогда

.

Так как , то не сходится по норме к А.

 

 

Тема 3 Обратные операторы

2.3.1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

 

X Y A
2.3.1.1    
2.3.1.2    
2.3.1.3    
2.3.1.4    
2.3.1.5
2.3.1.6

 

 

2.3.2 Пусть

1) Что представляет собой область значений R(A) оператора А?

2) Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор ?

 

X Y A
2.3.2.1
2.3.2.2
2.3.2.3
2.3.2.4
2.3.2.5
2.3.2.6

 

2.3.3Пусть , где - числовой параметр, - банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

 

Y
2.3.3.1
2.3.3.2
2.3.3.3
2.3.3.4
2.3.3.5
2.3.3.6

Примеры решения задач

1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

 

Пример 1 ,

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А – биекция. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений

, .

Отсюда

. (1)

А так как

, (2)

то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки (см. (2))

.

Пример 2

 

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор.

Запишем его в виде

и рассмотрим уравнение , т. е.

(3)

Пусть

. (4)

Тогда (3) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это в (4), без труда находим, что

.

Таким образом,

. (5)

Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме

,

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

 

 

2 Пусть

1) Что представляет собой область значений R(A) оператора А?

2) Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор ?

 

Пример 1 .

Решение. 1) Очевидно, что

множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю (проверьте). Заметим, что

2) Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует. Легко проверить, что

.

Действительно, при всех х из имеем .

3) Оператор В ограничен, так как

4) Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, А необратим.

 

Пример 2 .

 

Решение. 1) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что у(0)=0. Обратно, если и у(0)=0, то по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому

 

2) Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то В – левый обратный для оператора А.

3) Покажем, что В не является ограниченным оператором. Допустим противное, т.е.

.

Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.

4) Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .

 

 

3Пусть , где - числовой параметр, Х - банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

Пример 1 .

 

Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение x=y, т. е. линейное дифференциальное уравнение

. (6)

Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача

(7)

для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (1):

. (8)

Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений

. (9)

Возможны два случая.

а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение

для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):

.

В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на [0;1]. Но тогда и равномерно на [0;1].

б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид

.

Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор не сюръективен.

Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.

 

 

 

Литература

 

1 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. − Мн.: БГУ, 2003. − 430 с.

2 Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. − М.: Наука, 1972. – 496 с.

3 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения: Лабораторный практикум / А.Б. Антоневич [и др.]. − Мн.: БГУ, 2003. − 179 с.

4 Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. − М.: Наука, 1979. – 381 с.

 


Учебное издание

Миротин Адольф Рувимович

Кульбакова Жанна Николаевна


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!