Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Линейные нормированные пространства и операторы в них



Тема 1 Линейные нормированные пространства

2.1.1Проверить, является ли функция p нормой в пространстве X. Образует ли пара , где , метрическое пространство?

 

X p(x)
2.1.1.1
2.1.1.2
2.1.1.3
2.1.1.4
2.1.1.5
2.1.1.6

 

 

2.1.2Является ли множество А выпуклым в пространстве X?

 

X A
2.1.2.1 неубывающие функции
2.1.2.2
2.1.2.3 многочлены степени n
2.1.2.4
2.1.2.5 многочлены степени k
2.1.2.6

 

2.1.3 Проверить, является ли данная последовательность векторов

в бесконечномерном пространстве X линейно независимой.

X
2.1.3.1
2.1.3.2
2.1.3.3
2.1.3.4
2.1.3.5 - функция Дирихле
2.1.3.6

 

 

2.1.4 Привести пример последовательности , которая

сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены

естественными нормами.

 

2.1.4.1 2.1.4.2 2.1.4.3 2.1.4.4 2.1.4.5 2.1.4.6
X
Y

 

2.1.5 Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E?

 

E p q
2.1.5.1    
2.1.5.2    
2.1.5.3  
2.1.5.4   c
2.1.5.5  
2.1.5.6

 

2.1.6 Построить изоморфизм между фактор-пространством L/M и

одним из стандартных линейных пространств.

 

L M
2.1.6.1
2.1.6.2
2.1.6.3
2.1.6.4
2.1.6.5
2.1.6.6

 

Примеры решения задач

1 Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

 

Пример 1

Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем

и покажем, что . Действительно, так как и , то

Значит, множество А является выпуклым.

 

 

2 Проверить, является ли заданная система векторов в

бесконечномерном пространстве Х линейно независимой.

 

Пример 1

 

Решение. Покажем по определению, что система является линейно независимой. Пусть



. (1)

Подставив в это равенство t=a, получим , а потому

.Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая

этот процесс, окончательно будем иметь .

Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (1) не может

иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю (по-

чему?).

 

Пример 2

, , , .

 

Решение. Заметим, что .

Тогда , а значит, данные функции линейно зависимы.

 

 

3 Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

 

Пример 1 .

 

Решение.

Рассмотрим последовательность . В пространстве она сходится к вектору , так как

при .

Допустим, что . Так как

,

то сходится к а и в пространстве . В силу единственности

предела, отсюда следует, что . Но . Это противо- речие доказывает, что в данная последовательность не сходится.


Пример 2

Решение. Рассмотрим последовательность в пространстве . Тогда в имеем:

при , т. е. в .

Допустим, что сходится в к некоторому . В силу неравенства Коши-Буняковского,

.

Отсюда следует, что если в , то и в . В силу единственности предела, . С другой стороны, легко проверить, что . Противоречие. Следовательно, в данная последовательность не сходится.

 

Пример 3

Решение. Рассмотрим последовательность . В имеем , но в 0 ( ). Значит, 0 в . Воспользовавшись неравенством: и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в .

 

 

4 Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

 

Пример 1

 

Решение. Очевидно, . Допустим теперь, что

, т.е. .

При последнее неравенство примет вид: .



Полученное противоречие доказывает, что p и q не эквивалентны.

 

Пример 2

Решение. Заметим, что . Допустим, что , т.е. , и положим здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , т. е. . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

 

Пример 3

Решение. Так как , то , т.е. .

С другой стороны, так как , то , т.е. .

Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.

 

Пример 4 .

Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского . Допустим, что .

Возьмем . Тогда , и последнее неравенство примет вид: , что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

 

 

5 Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

 

Пример 1

 

Решение. Возьмем произвольный элемент . Его класс эквивалентности есть

.

Это равенство показывает, что отображение инъективно. Очевидно также, что оно линейно и является сюръекцией (проверьте). Значит, f – изоморфизм линейных пространств.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!